85问答库 > 线性代数。设a,b,c 是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，那么为什么 a+b, b-c, a+b+c 也是它的基础解系？

线性代数。设a,b,c 是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，那么为什么 a+b, b-c, a+b+c 也是它的基础解系？

2024-11-02 21:42:13

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回答1：

a+b, b-c, a+b+c都是用a,b,c线性表示的，所以a+b, b-c, a+b+c是方程AX=0的解。
[a+b, b-c, a+b+c]=[1 1 0; 0 1 -1; 1 1 1 ][a b c]转置=B[a b c]转置
其中，B=[1 1 0; 0 1 -1; 1 1 1 ],R(B)=3
所以，a+b, b-c, a+b+c线性无关。故，可以做基础解系

回答2：

首先a+b,b-c,a+b+c是方程的解再证明它们线形无关
由题知对任意不全为零的数K1，K2，K3有K1a+K2b+K3b不等于0
设存在不全为零的数R1，R2，R3使R1（a+b)+R2(b-c)+R3(a+b+C)=0
得a（R1+R3）+b(R1+R2+R3)+c(R1-R2+R3)=0与题设矛盾，所以假设不成立
所以a+b,b-c,a+b+c线性无关