85问答库 > 设λ1，λ2是3阶矩阵A的两个不同的特征值，α1，α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2

设λ1，λ2是3阶矩阵A的两个不同的特征值，α1，α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2

2024-11-28 19:36:36
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回答1：

由题意，Aα1=λ1α1，A（α2-α3）=λ1α2-λ2α3，Aα3=λ2α3
∴α1+Aα3=α1+λ2α3
∴α1+Aα3，A（α2-α3），Aα1+α3线性相关?
存在不全为零的实数ki（i=1，2，3），使得
k1（α1+λ2α3）+k2（λ1α2-λ2α3）+k3（λ1α1+α3）=0
?（k1+k3λ1）α1+k2λ1α2+（k1λ2-k2λ2+k3）α3=0
?关于实数ki（i=1，2，3）的齐次线性方程组

k1+k3λ1＝0
k2λ2＝0
k1λ2?k2λ2+k3＝0
有非零解
?系数行列式为0，即
1 0 λ1
0 λ2 0
λ2 ?λ2 1
=λ2（1-λ1λ2）=0
?λ2=0或λ1λ2=1
故选：B．

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