(u^2+1)⼀(u-u^3)，求它的不定积分

2024-11-01 15:18:33

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回答1：

这个做法更好：
∫(u²+1)/(u-u³) du
= ∫(1+1/u²)/(1/u-u) du，上下除以u²
= ∫1/(1/u-u) * (1+1/u²) du
令t=1/u-u，dt=-(1+1/u²) du→=(1+1/u²) du=-dt
原式= -∫1/t dt
= -ln|t| + C
= -ln|1/u-u| + C
或进一步化简：
= -ln|(1-u²)/u| + C
= ln|u/(1-u²)| + C 或 ln|u| - ln|1-u²| + C 或 ln|u| - ln|1+u| - ln|1-u| + C

回答2：

(u^2+1)/(u-u^3) = (u^2+1) / [ u (1-u^2)] = 1/u - 2u /(u^2-1)
∫ (u^2+1)/(u-u^3) du = ∫ [ 1/u - 2u /(u^2-1) ] du
= lnu - ln| u^2-1| + C