匀变速直线运动规律推论及推论过程

2025-04-06 16:35:18

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回答1：

专题一匀变速直线运动的三个推论
1. 在连续相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值，即△s= aT2（又称匀变速直线运动的判别式）
进一步推证得……
2. 某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度
即
3. 某段位移内中间位置的瞬间速度与这段位移的初、末速度和的关系为

讨论：在同一段匀变速直线运动中，对于加速或是减速，与有何关系？
分析：若物体做匀加速直线运动，如图甲所示，物体由A到B历时t，而经物体的位移不到一半，即经，物体在中间位置O的左侧，所以。

若物体做匀减速直线运动，如图乙所示，物体由A到B历时t，而经物体的位移已大于整个位移的一半，即达到O点的右侧，由于是减速，所以。
综上可知：物体做匀变速直线运动时，某段位移上中间时刻的速度小于中间位置的速度。
即

例1、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m，64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度。
分析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。如：
解法Ⅰ：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：

将、、代入上式解得：
解法Ⅱ：用平均速度公式：
连续的两段时间t内的平均速度分别为：

B点是AC段的中间时刻，则

得：

解法Ⅲ：用特殊式——判别式解：
由△s= 得
再由解得
评注：①运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而形成解题能力。②对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式△s=求解。

例2、某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40 km/h，有一辆车遇到情况紧急刹车后，经时间停止，量得路面刹车的痕迹长为s=9m，问这辆车是否违章（刹车后做匀减速运动）？
分析：本题隐含了末速度为零的条件，求出初速度就可判定。
解：由于车做匀减速直线运动，则平均速度
又因为
所以
解得v0=12m/s=43.2km/h>40km/h
故可判断此车违章

例3、从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得sAB=15cm，sBC=20cm，试求：
（1）小球的加速度
（2）拍摄时B球的速度vB=？
（3）拍摄时sCD=？
（4）A球上面滚动的小球还有几颗？

分析：释放后小球都做匀加速直线运动，每相邻两球的时间间隔为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个球在不同时刻的位置。
解：（1）由知，小球的加速度

（2）B点的速度等于AC段上的平均速度
即
（3）由于相邻相等时间的位移差恒定
即
所以
（4）设A点小球的速度为
由于=+
则
所以A球的运动时间

故在A球上方正在滚动的小球还有2颗
评注：利用推论结合基本公式求解运动学问题非常方便.

专题二初速为零的匀变速运动的比例式
设t =0开始计时，以T为时间单位。则
（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…… = 1∶2∶3∶……
（2）第一个T内，第二个T内，第三个T内……位移之比，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）

（3）1T内、2T内、3T内……位移之比s1∶s2∶s3∶……= 12∶22∶32∶……

（4）通过连续相同的位移所用时间之比
……=……

例1、一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m／s，试求（1）第4 s末的速度；（2）运动后7 s内的位移；（3）第3 s内的位移
分析：物体的初速度v0=0，且加速度恒定，可用推论求解.
解：（1）因为所以，即∝t
故
第4s末的速度
（2）前5 s的位移

由于s ∝t 2
所以
故7 s内的位移

（3）利用sI∶sⅢ= 1∶5知
第3s内的位移sⅢ=5sI=5×0.6 m=3 m

例2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为s1 ，最后3s内的位移为s2，已知s2－s1=6 m；s1∶s2=3∶7，求斜面的总长.
分析：由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.
解：由题意知
解得s1=4.5 m s2=10.5 m
由于连续相等时间内位移的比为l∶3∶5∶……∶（2n－1）
故sn=（2n－1）sl
可知10.5 = （2n－1）4.5
解得n =
又因为s总 = n2s1
得斜面总长s总 = ×4.5=12.5 m
评注：切忌认为物体沿斜面运动了6 s，本题中前3 s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的。

例3、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?
分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动。
解：据通过连续相等的位移所用时间之比为
……得

所以所求时间△t=4 s
另解：一般解法如下：
设每节车厢长为s，加速度为a，则人通过第一节车厢的时间
则人通过前4节车厢的时间为
人通过前16节车厢的时间为
故所求时间。
评注：运动学题目的解法多种多样，但总有一些解法比较简单，希望在掌握基本解法的基础上多考虑一些不同的解题方法。

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