为什么铵根与醋酸根离子，碳酸根与碳酸氢根离子，镁离子与碳酸氢根离子，都能水解且大量共存

你在学电离平衡啊？那最好去问你们学校的化学老师，因为老师知道要考具体水解要考你哪一点，
化学的问题深究没有底的，而且中学一套大学一套，用大学的理论去解释中学的问题，答案又会不一样。特别深了之后很多问题的绝对性越来越弱，还会牵扯物理的问题。
总之最好去问你们老师，让他把关于这个知识点的需要掌握的考点都告诉你。最后把题目做对就OK了。
如果是涉及竞赛去找专门懂竞赛的老师，竞赛一套学校考试一套大家都心里都明白的。
最后说老实话，我觉得从理论的角度讲：化学没物理严谨，化学很多都是纯实验搞来的经验性的东西。（靠化学的话，最后高考的题目都是你做过的吧）。
所以要摸清答案要考你什么，这也是最好要去问学校老师的原因。别不好意思。
术业有专攻，你知道专攻什么意思的吧。

因为铝的性质比较特殊，它是两性物质，它的离子与大多数弱碱，弱酸根离子都不能共存的

这个要看水解进行的程度。比如铵根与醋酸根离子都能水解，二者共存时水解相互促进（即双水解），但即使如此，总的说来水解程度仍然不大，所以仍能够大量共存。（计算表明，常温下0.1mol/L的醋酸铵，水解度仅1%）。
而铵根离子和四羟基合铝酸根混合时，由于双水解生成的Al(OH)3是沉淀，而NH3是气体，会脱离反应体系，从而会极大拉动水解进行，以至于完全水解。所以这二者是不能大量共存的。至于镁离子与碳酸氢根离子，尽管氢氧化镁也是难溶的，但溶解度仍不够小，所以也不能完全双水解。如果把镁离子换成铝离子或铁离子，那么就会彻底双水解。
你的另外一个例子是错的，醋酸根与铝离子能够大量共存，不能大量共存的是碳酸根（或碳酸氢根）与铝离子。

总的说来，因彻底双水解而不能大量共存的离子，其中金属离子对应的碱必然是非常难溶于水的弱碱，而酸根对应的酸必然是不稳定的挥发酸，或者正好反过来（挥发性弱碱+难溶性弱酸的组合）。除了你给的例子之外，再例如铁离子和碳酸根离子、铝离子与硫离子、铵根离子与硅酸根离子等等。