已知椭圆C:X2⼀A2+Y2⼀B2=1(A>B>0)的离心率为根号2⼀2,且曲线果点(1,根号2⼀2)

第一个问题：题目中的“果”应该是“过”。
∵椭圆过点（1，√2/2），　∴1/a^2＋（1/2）/b^2＝1，　∴2b^2＋a^2＝2a^2b^2。

∵e＝c/a＝√2/2，　∴√（a^2－b^2）/a＝√2/2，　∴（a^2－b^2）/a^2＝1/2，
∴2a^2－2b^2＝a^2，　∴a^2＝2b^2。

联立：2b^2＋a^2＝2a^2b^2、a^2＝2b^2，消去a，得：2b^2＋2b^2＝4b^4，　∴b^2＝1。
将b^2＝1代入a^2＝2b^2中，得：a^2＝2。

∴满足条件的椭圆方程为x^2/2＋y^2＝1。

第二个问题：题目中的“切”应该是“且”。
令AB的中点为D。
改写直线方程，得：y＝x＋M。
∵A、B都在直线y＝x＋M上，　∴可令A、B的坐标分别是（m，m＋M）、（n，n＋M）。
联立：x^2/2＋y^2＝1、x－y＋M＝0，消去y，得：x^2/2＋（x＋M）^2＝1，
x^2＋2x^2＋4Mx＋2M^2－2＝0，　∴3x^2＋4Mx＋2M^2－2＝0。　显然，m、n是该方程的根，
∴由韦达定理，有：m＋n＝4M/3。

由中点坐标公式，容易得出：AB的中点坐标为D（2M/3，5M/3）。
∵D不在圆x^2＋y^2＝5/9内，　∴OD≧√5/3，　∴√［（2M/3）^2＋（5M/3）^2］≧√5/3，
∴√29｜M｜≧√5，　∴｜M｜≧√5/√29＝√145/29，　∴M≦－√145/29，　或M≧√145/29。

∴满足条件的M的取值范围是（－∞，－√145/29）∪（√145/29，＋∞）。