求微分方程xy′lnx+y=x（lnx+1）的通解
解：先求齐次方程xy′lnx+y=0的通解：
分离变量得dy/y=-dx/(xlnx)
积分之得lny=-∫d(lnx)/lnx=-lnlnx+lnC=ln(C/lnx)
故得齐次方程的通解为y=C/lnx.
将C换成x的函数u，得y=u/lnx............(1)
将(1)对x取导数得y'=(u'lnx-u/x)/ln²x=(u'/lnx)-u/(xln²x)..........(2)
将(1)(2)代入原式并化简得：u'=lnx+1
分离变量得du=(lnx+1)dx
积分之，得u=∫lnxdx+∫dx=xlnx-∫dx+∫dx=xlnx+c
代入(1)式即得原方程的通解为y=(xlnx+c)/lnx=x+(c/lnx).
该方程为一阶线性微分方程
y′+
y＝1 xlnx
lnx+1 lnx
因此，P(x)＝
，Q(x)＝1 xlnx
．lnx+1 lnx
代入一阶线性微分方程的求解公式，有
y＝e?∫
dx(∫1 xlnx
e∫lnx+1 lnx
dxdx+C)1 xlnx
=
(∫1 lnx
?lnxdx+C)lnx+1 lnx
=
(∫( lnx+1 )dx+C)1 lnx
=
(xlnx+C)1 lnx
所以，原方程的通解为
y＝
(xlnx+C)＝x+1 lnx
C lnx
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