A^2=A
A^2-A-2E=-2E
(A-2E)(A+E)=-2E
(2E-A)(A+E)=2E
|2E-A||A+E|=2^n
现在求|A+E|的值
A是实对称阵，必可相似对角化，存在可逆阵P,使得P^(-1)AP=Λ
其中Λ是对角阵，设其对角线上的元素是a1,a2……an,由于r(A)=r
可知a1,a2……an中有r个元素不为0，n-r个元素为0,不妨设a1,a2……ar不为0
A^2=P^(-1)Λ^2P=P^-1ΛP 因为P可逆，所以Λ^2=Λ
即(a1)^2=a1,(a2)^2=a2……(an)^2=an
可解得a1=a2=……=ar=1,a(r+1)=a(r+2)=……=an=0
|A+E|=|P^-1ΛP+P^-1EP=|P^-1||Λ+E||P|=|Λ+E|
|Λ+E|为对角阵，其对角线上的元素有r个为2，n-r个为1，所以|A+E|=|Λ+E|=2^r
|2E-A|=2^(n-r)
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