数学家是如何计算出π的?

纵观π的计算方法，在历史上大概分为实验时期、几何法时期、解析法时期和电子计算机计算法几种。我们都知道圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。 

实验时期：约产于公元前1900年至1600年的一块古巴比伦石匾上记载了圆周率 = 25/8 = 3.125，而埃及人似乎更早的知道圆周率，英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。

几何法时期：古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。在他的《圆的度量》一书中首先采用“穷竭法”计算π值，所谓“穷竭法”就是从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他得出3.141851 为圆周率的近似值。

这种方法随后被2位中国古代数学家发扬光大。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率≈3.1416。而南北朝时期的数学家祖冲之进一步求出圆内接正12288边形和正24576边形的面积，得到3.1415926＜π＜3.1415927的精确值，在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。

解析法时期：这是圆周率计算上的一次突破，是以手求π的解析表达式开始的。法国数学家韦达（1540-1603年）开创了一个用无穷级数去计算π值的崭新方向。这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。1706年，英国数学家梅钦率先将π值突破百位。到1948年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。

计算机时期：自从第一台电子计算机ENIAC在美国问世之后，立刻取代了繁杂的π值的人工计算，使π的精确度出现了突飞猛进的飞跃。1949年，美国人赖脱威逊利用ENIAC计算机花了70个小时把π算到2034位，一下子就突破了千位大关，1955年，一台快速计算机竟在33个小时内。把π算到10017位，首次突破万位。技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。

我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法——“割圆术”。
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。
以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于求得了圆周率为：精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的, 比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个是“密率”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。

纵观π的计算方法，在历史上大概分为实验时期、几何法时期、解析法时期和电子计算机计算法几种。

很久以前，数学家利用各种算法包括几何算法和分析算法来计算π值，非常费力，耗费时间长，计算效率低。如今，计算机诞生，计算速度超快，很快能计算出小数点后千万甚至上亿位，效率大大提高，显然升到更高境界。

圆周率π在数学中十分常见，常被应用于各种方面，如此重要不容忽视的数值当然少不了数学家的热切关注和产生的极大兴趣。鲁道夫·范·科伊是德国内一位著名的数学家，他将自己的后半生奉献给了数学研究，在十多年的时间内运用几何算法，成功精确计算出小数点后三十五位。显然，相比如今的计算技术，他的研究是低效率、高输入低输出的，但也激励了后人奋起研究圆周率，积极寻找计算方法。之后，有人成功研究出了另一种较之有效的方法，那就是分析方法，这也提高了计算圆周率π值的效率。当时印度的一位优秀数学家，名为拉马努金发现了两个公式，他充分利用这两个公式，很快就能手算出小数点后一百多位数，与鲁道夫利用的方法相比，其计算效率可不只是提高了百倍。

现在计算机出现了，数学家充分利用计算机，在计算机上不断推理演算，计算机超快的计算速度显然是数学家最看重的。他们将自己推理出来的公式输入计算机，进行无数次的模拟运算，望找到最为简便的计算公式。功夫不负有心人，梅钦公式和高斯-勒让德迭代算法被研究出来，计算机中被植入这些公式，人们使用圆周率更为普及。

这两种方法都能精准计算出圆周率，同时各有特色。梅钦公式就是一个公式，高斯-勒让德迭代算法中先给予初始值，然后反复迭代，使数值更加精准。

数学在发展，未知等待探索，我们仍需努力。

如果π指的是圆周率，那么π值是根据圆的周长与直径的比计算出来的。因为圆周长与直径的比是6+2√3比3，所以π值是3.1547005383...
如果π指的是正6x2ⁿ边率，那么π值是根据正6x2ⁿ边形的周长与过中心点的对角线的比计算出来的3.1415926...。
正6x2ⁿ边率3.1415926...不等于圆周率3.1547005383...。