1、
【相交弦定理的证明】
设⊙O的两条弦AB和CD交于P，求证PA×PB=PC×PD。
证明：
连接AC、BD，
在△PAC和△PDB中，
∵∠A=∠D，∠C=∠B（同弧所对的圆周角相等），
∴△PAC∽△PDB（AA），
∴PA：PD=PC：PB，
∴PA×PB=PC×PD。
2、
【切割线定理的证明】
设PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，求证：PT²=PA×PB。
证明：
连接TO并延长交⊙O于C，连接AC、TA、TB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PTC=90°，
∴∠PTA+∠ATC=90°，
∵TC是⊙O的直径，
∴∠TAC=90°，
∴∠ACT+∠ATC=90°，
∴∠PTA=∠ACT，
∵∠ACT=∠PBT（同弧所对的圆周角相等）
∴∠PTA=∠PBT（等量代换）
∴∠在△PAT和△PTB中，
∵∠PTA=∠PBT（已证），
∠APT=∠TPB（公共角），
∴△PAT∽△PTB（AA），
∴PT：PB=PA：PT，
∴PT²=PA×PB 。
利用相似三角形的对应边成比例证明。
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