求反函数的方法和习题

http://www.cbe21.com/subject/maths/html/040201/2001_01/20010109_303.html
http://www.chinaedu.com/101resource004/wenjianku/200407/101ktb/lanmu/JAAS0043/JAAS0043.htm
http://www.pkuschool.com/teacher/details.asp?TopicAbb=design&SubjectAbb=sx&FileName=G10sxs240t0003.htm&FileID=654&Title=%B7%B4%BA%AF%CA%FD

都不错的。

1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法.

2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力.

3．使学生思维的深刻性进一步完善.

教学重点与难点

教学重点是求反函数的技能训练.

教学难点是反函数概念的理解.

教学过程设计

一、揭示课题

师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数.

(板书：反函数 1.反函数的概念)

二、讲解新课

三、师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数中，如果当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？

生：可以构成一个函数.

师：为什么是个函数呢？

生：在y允许取值范围内的任一值，按照法则→都有唯一的x与之相应.师；根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数是存在反函数的.这个反函数的解析式是怎样的呢？

生：应该是.

师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以写成这样改动之后，带来这样一个问题，即和是不是同一函数呢？

生：是.

师：能具体解释一下吗？

生：从函数三要素的角度看，和具有相同的定义域和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数.

师：既然是相同的，我们就把称作函数的反函数，同样，函数y=x-1 2有没有反函呢？

生：有.就是.

师：对.也就是说函数与函数是互为反函数的.那么，是不是所有函数都会有反函数呢？

生：不是所有函数都有反函数.

师：能举个例子说明吗？

生：如函数，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1则x=±1，因此不能构成函数，说明它没反函数.

师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．

缺图1

通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x＋1的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义．由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容．（板书：（1）反函数的定义）

（要求学生打开书第60页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容．）

为帮助学生理解定义中的描述，教师可以再以一上具体函数为例解释y=f(x)和x=j(y)之间的关系，同时应指出定义中”如果”二字的含义表示不是所有函数都有反函数．）

对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究．

（板书：（2）对概念的理解．）

师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它们之间有什么关呢？不妨以刚才的两个函数y=2x+1和为例加以研究．

生：对应法则不同．

师：能否说得再具体点，怎么不同？

生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位．

（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢．）

师：还有什么联系吗？

生：当的定义域和值域分别是y=2x+1的值域和定义域．

师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”．把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？

生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．

师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”．在这“三反”中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”．

（板书：a.“三定”，b.“三反”）

师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关．

由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面．当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法．

师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目．

例1 求的反函数．

生：（板书）

解 由， 得

所以，所求反函数为

（在表述上不规范之处，先暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评．）

例2 求的反函数．

生：（板书）

解 由y=得又所以故

．

师：下面请同学对两个例题的表述作个评价．

生：例2所求的反函数是错误的，应为 (x≥2)

师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？

生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2，所以是不同的两个函数．

师：为什么是(x≥2)呢？

生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f(x)的值域，而f(x)的值域应为y≥2，故所求反函数应为 (x≥2)．

师：说得很好．根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域．所以，要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域．那么例2的求解过程应当怎样调整呢？

生：由得，又x≥1,所以．因为的值域为，所以 (x≥2)．

师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例2反函数的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性．除此之外，还有什么问题吗？

生：为什么没有在例1中求原来所给函数的值域呢？

师：请同学们针对这个问题讨论一下．

生：因为原来所给的函数的值域是y≠0，这和所求出的反函数的定义域是x≠0为结论是一致的，所以没有出错．

师：此题出现的这种结论的一致性，应当说是一种偶然，而不是必然．因此，在求反函数的过程中，必须要求出原来所给函数的值域，并且在最后结果中注明反函数的定义域．那么，例1的规范书写过程应如何调整呢？

生：（板书）

解 由，所以，所求反函数为

师：通过刚才对两个具体例子的讨论，能否总结一下求用解析式表达的函数的反函数的基本步骤呢？

（板书：2．求反函数的步骤）

生：首先从解析式中解出x，其次求出所给函数的值域，最后再改写为习惯的表示形式．

师：把这几步用简单的几个字来概括一下：

1．反解：即把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式；

2．互换：既求出所给函数的值域并把它改换为反函数的定义域；

3．改写：将函数写成的形式．

（板书：1．反解 2．互换 3．改写．）

师：下面通过几个练习来看看同学们是否真正理解这三个基本步骤．

三、巩固练习

练习 求下列函数的反函数

1．

（由一个学生在黑板上完成．）

解 由 x=3 2y-2.

又f(x)=23x+3,x∈(-∞,3)的值域为 f(x)∈(-∞,4), 所以f-1(x)=32x-2,x∈(-∞,4).

2.y=x2-x+1(x≥12)

（由一个学生在黑板上完成，两题同时进行，其余学生在笔记本上完成，教师巡视．）

解 由 y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,

所以 x=1±4y-32,

又 y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,所以，

f-1(x)1±4x-32(x≥34).

（待全体学生完成之后，结合黑板上学生的表述及其它学生解答中出现的问题进行讲评．）

师：先看黑板上同学的表述有没有问题，请加以纠正．

（一学生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得

x2-x+1-y=0,

所以x=1±4y-32 又x≥12,所以

x=1+4y-32

又y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,故所求反函数为

y=1+4x-32 (x≥34).

师：经过改正，两个题目在表述上已经没有问题了．下面结合其它同学求解中出现的一些问题，谈几点注意．

（1） 求反函数的过程中必有一步是求出原来所给函数的值域．求值域的方法有很多，如果所给函数是常见函数如一次函数、二次函数等，不妨从“形”的角度求值域会比较方便直观.

（2） 解关于x的一元二次方程有两个根，必须根据题目所给条件对x进行取舍，保留符合条件的唯一解.

（3） 这两个题目在反函数符号的使用上是有区别的，题目给出f(x)这个符号，则反函数可以用f-1(x)来表示，否则只能用文字叙述的形式.

四、小结

1.反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，因此认识它应从三要素角度进行研究.

2.一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的，且反函数的性质也是由原来给出的函数性质决定的.

3.求反函数实际上就是办两件事，一是解一个关于自变量x的方程，二是求 一个函数的值域.

五、作业

课本习题P65习题六第3题（1），（3），第4题.

课堂教学设计说明

反函数这节课是一节概念课，因此这节课的成败关键是反函数概念的建立.

反函数是函数中一个特殊现象，对这个概念的研究是对函数概念和函数性质在认识上的深化和得高，所以学生对这个知识的学习是有一定的知识基础和认识基础的，故应以学生的主体参与为主线，且是在教师主导作用下的思维与参与.

学生的思维是从问题开始的，因此本节课的起点应是一个有较大思维空间的问题，所以在设计时选择从一个具体函数入手提供研究反函数的原则，让学生在这个原则之下自己选择研究方法，进行探讨，在研究过程中，针对学生出现的障碍，适时、适当加以点拨，将学生思维引向正轨.

反函数概念的建立的关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识.在教学设计中，教师采用从具体的例子出发，用学生最熟悉的知识，最明显的事例，帮助学生找到研究方法的角度，再逐步概括抽象出反函数意义，这样也便于分散难点，突出重点.

对一个概念的理解往往要通过某种具体的操作来体现,操作的灵活熟练程度也能体现出对概念理解的深度.因此这节课对反函数概念的理解最终是落在求反函数技能的形成和训练上,在设计中教师采用让学生尝试、调整、概括、小结,最终形成求反函数基本步骤.在实践中,鼓励学生大胆尝试,不怕失败,在知识的学习过程中,教训有时比经验更深刻.

在这节课的教学设计中,从始至终都尽量让学生能够主动思考问题,提出问题,分析问题并解决问题,在积极活跃的思维过程中,不断提高学生的数学能力和数学素养.

一．课题：反一．课题：反函数（1）

二．教学目标：

1．使学生理解反函数的；

2．弄清原函数与反函数之间的三要素的关系，特别是它们的定义域与值域的关系；

3．会求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。

三．教学重点、难点：

1．使学生在了解反函数的概念的基础上，理解互为反函数的对应法则的互逆性；

2．弄清原函数与反函数的定义域与值域的关系；

3．通过求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。

四．教学过程：

（一）复习引入

1．特殊的对应构成映射，特殊的映射得到函数，映射与函数的联系与区别，函数的三要素。

2．特殊的映射：一一映射

对于这两个对应，它们是不是映射？是不是一一映射？是不是函数？

那么这两个映射能不能构成到的映射吗？如果能（显然，只有一一映射才能），那么到的映射所确定的函数与原函数又有何关系呢？

3．引例：在物理上，学过匀速运动的位移和时间的函数关系，即与（其中速度是常量）在中，位移是时间的函数。在中，时间是位移的函数。

在这种情况下，我们说函数是函数的反函数。

在函数（中，是自变量，是的函数。从函数中解出，就可以得到式子。这样，对于在中任何一个值，通过式子，都有唯一的值和它对应。这就说明了，可以把作为自变量，作为的函数。 这时，我们就说是函数（的反函数。由此，我们可给出反函数的定义。

（二）新课讲解

1．反函数定义：一般的，函数中，设它的值域为。我们根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到。如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么就表示是自变量，是自变量的函数。这样的函数叫做函数的反函数，记作

说明：（1）为了符合习惯，我们常常对调函数中的字母，把它改写成；

（2）符号的含义有二：其一表明是原函数的反函数；其二表明是反函数的对应法则；

（3）对于任意一个函数，它的反函数不一定存在。如：在函数中，因为对于都有两个值与它对应，所以不能构成的映射，更不能成函数。我们就说在函数没有反函数。

按照映射的观点，如果这个映射是一一映射，那么这个映射所表示的函数存在反函数；如果表示一个映射的函数不是一一映射，其反函数不存在。

2．反函数与函数的关系

（1）反函数与函数是相对的。如果函数有反函数，那么函数 的反函数就是，即与互为反函数。

（2）与的定义域，值域正好对调。

说明：反函数的定义域是由原函数的值域确定，而不是由它的表达式确定。

3．例题分析：

例1． 求下列函数的反函数：

（1）（； （2）；

解：（1）由，解得，

所以，函数（的反函数是；

（2）由函数，解得，

所以，函数的反函数是 。

说明：求函数的反函数的一般步骤是：

（1）反解，由解出，写出的取值范围；

（3）互换，得；

（4）写出完整结论（一定要有反函数的定义域）。

[练习]求下列函数的反函数：

（1）（； （2）

例2． 判断下列函数是否有反函数。如有反函数，则求出它的反函数。

（1）；

（2）。

解：（1）令得到对应的两根：

这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数。

（2）由，得

∵，∴ ，

互换得

又由的值域可得反函数定义域为

所以，反函数为．

五．课堂小结：

1．反函数的定义。

2．怎样的函数存在反函数。

3．求函数的反函数的一般步骤是什么？

六．作业：习题2.4 第1题

补充：求函数 （- 1≤ x < 0）的反函数。

二．教学目标：1．使学生了解互为反函数的函数图象间的关系；

2．运用互为反函数的函数图象间的关系解决函数的有关问题；

3．.通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索、猜想、论证的思维习惯。

三．教学重点：互为反函数的函数图象间的关系。

四．教学过程：

（一）复习：（提问）

1．反函数的定义；

2．反函数的求法。

练习：已知函数且有反函数，求的值。

（二）新课讲解：

研究函数除从函数的三要素去研究外，还经常研究函数的图象。如果函数（）的反函数是，那么在直角坐标系中，它们的图象有什么关系？

例1．（1）求函数的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。

解：从解得，因此函数的反函数是．

函数和它的反函数的图象如图所示（图略）。

（2）求函数的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。

解：从函数，解得．因此的反函数是

和它的反函数的图象如图所示（图略）。

由这两组图象，我们可以观察出互为相反数的两个函数的图象关于直线对称。

说明：（1）如果是上的点，那么是上的点，而与是关于直线对称的，所以互为相反数的两个函数的图象关于直线对称的；

（2），从而，有。

例2．设，函数的图象与函数的图象关于直线对称，求．

解（法一）：函数的值域为

∵，即， ∴，

∴，

即， ∴．

（法二）因为，

∴，即有，得， 所以，．

练习：已知的图象关于直线对称，则求的值。

解：∵的图象关于直线对称

∴的反函数是本身。

故有，∴

∴，

所以，．

例3．已知函数，

求：（1）及其；

（2）求的反函数。

解：（1）∵，

∴，其值域为，

又由 得，

∴

所以，．

（2）由，解得

∴的反函数为．

说明：并不是的反函数，而是的反函数。

题中有的形式，我们先求出，才能求出．

五．小结：1．互为反函数的函数图象间的关系，即互为相反数的两个函数的图象关于直线对称；

2．运用互为反函数的函数图象间的关系解决函数的有关问题。

六．作业：习题2.4 第3，4，5题

补充：1．已知求．

2． 如果，求满足的条件。

（答案：或）

反函数

一、知识点内容和要求：

1、理解反函数的概念

2、了解原函数与其反函数的定义域与值域间的关系。

3、能熟练地求一些较简单的函数的反函数。

二、教学过程设计：

（一）复习

1、映射的概念。

2、观察下面三个映射：F：A→B

（1）甲乙相比，甲具有什么特点：“一对一”即A中不同的元素在B中有不同函数

（2）甲丙相比，甲具有什么特点：“一对一”即B中的每个元素在A中都有原函数

（3）指出：甲中映射：F：A→B同时具有两种属性：A中不同的元素，在B中有不同的系，B中的每个元素在A中都有原函数，这种映射F是从A到B的一一映射。

（二）新课

1、反函数的定义：一般地，式子 表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，

我们从式子 中解出x，得列式子 ，如果对于y在C中的任何一值，通过式子 ，

x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 就表示x是自变量y的函数，这样的函数
叫做函数 的反函数，记作 即： 。在函数式中 中，y表示

自变量，x表示函数，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，为此对调函数式 中的字母x、

y，把它改写成：
说明： 表示 的逆变换，同样 是 的逆变换，即 和 是互逆的，要注意： 并不表示 的倒数，即 例如：若 是“开立方”，则 表示“立方”；若 是乘以2加上3，则 表示减去3再除以2。

2、反函数存在的条件：

由反函数的定义只有原象具有唯一性的函数，即对定义域内任意的 能推断出
成立的函数才具有反函数。

如： ，故 有反函数

而 （ ），当 =2， = ，虽然
故 没有反函数

思考：偶函数是否有反函数？为什么

3、反函数与原函数的关系

（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域

（2） 互为反函数，设 的定义域为A，值域为C

则有：

4、反函数的求法

由反函数的定义求出已知函数的反函数，步骤如下：

（1）由
（2）交换 、
（3）根据 的定义域

例1：求下列函数的反函数

（1）
例2、已知
说明： 是偶函数，在整个定义域上不存在反函数，只有单调区间上才有反函数。

例3：已知函数 的反函数是 ，求a，b，c，的值（a=－2，b=－1，C=－3）

例4、求函数
提示分别求出 的反函数，再写成一个函数的分段形式：

例5：已知函数 的定义域 内存在反函数，且
求 的值
提示：两种方法：法一：先求出
法二：求出 解方程 得
例6：已知 在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证 的反函数 在它的

定义域内也是增函数。

证明：设 的定义域为M，任取 且 令 , 则 一

定在函数 的定义域内,由反函数的定义可知
,而 在其定义域内为增函数, 的 ,即
故 在其定义域内也亦为增函数

说明：互为反函数的两个函数具有相同的增减性，应用此特性解题，将会得到更加简便的方法

5、归纳小结

作业：1、P65 习题六（3、4、5）

2、若函数 在其定义域内存在反函数，求常数 的取值范围
3、求

解：
根据题意：a，β是二次函数x²-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根
根据韦达定理：a+β=k-1，aβ=-3k-2
所以a²+β²=（a+β）²-2aβ
=（k-1）²-2（-3k-2）
=k²-2k+1+6k+4
=k²+4k+5
=17
即：k²+4k-12=0
（k+6）（k-4）=0
所以k=-6或k=4
当k=-6时，方程没实数根
所以k=4