85问答库 > 已知abc=1且abc均为正数求证 a分之一+b分之一+c分之一大于等于a+b+c

已知abc=1且abc均为正数求证 a分之一+b分之一+c分之一大于等于a+b+c

2024-10-31 23:32:28

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回答1：

取a=0.9,b=0.9,c=100/81
a+b+c=3.0345
1/a+1/b+1/c=3.03222
原式不成立
所以不等式错误

我想楼主大概找的是这个吧~

abc=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于根号a+根号b+根号c

1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/abc
=ab+bc+ac
=(1/2)[(ab+bc)+(ab+ac)+(ac+bc)]
≥(1/2)[2(ab*bc)^(1/2)+2(ab+ac)^(1/2)+2(ac+bc)^(1/2)]
=(abc*b)^(1/2)+(abc*a)^(1/2)+(abc*c)^(1/2)
=b^(1/2)+a^(1/2)+c^(1/2)

回答2：

因为abc=1,所以1/a=bc,1/b=ac,1/c=bc,又因为abc为正数，所以a+b+c<=1/a+1/b+1/c