已知椭圆C:x2⼀a2+y2⼀b2=1(a>b>0)的离心率为√2⼀2,并且直线y=x-b在y轴上的截距为-1(1)求椭圆的方程

(1)b=1,有a²=1+c²,c/a=√2/2,解得a=√2,∴椭圆方程为x²/2+y²=1

(2)若存在这样的定点,那麼当l旋转到与y轴重合时,依然满足AT⊥BT

此时的A(0,1),B(0,-1),T在以AB为直径的圆x²+y²=1上

同理,当l旋转到与x轴平行时,满足AT⊥BT

令y=-1/3,解得x1=-4/3,x2=4/3,所以A(-4/3,-1/3),B(4/3,-1/3)

T在AB为直径的圆x²+(y+1/3)²=16/9上

联立解得T的坐标为(0,1)∴TA→=(x1,y1-1),TB→=(x2,y2-1)

设直线l:y=kx-1/3,联立椭圆方程得(2k²+1)x²-4kx/3-16/9=0

x1+x2=4k/3(2k²+1),x1x2=-16/9(2k²+1)

∴y1+y2=kx1-1/3+kx2-1/3=-2/3(2k²+1),y1y2=(kx1-1/3)(kx2-1/3)=(1-18k²)/9(2k²+1)

TA→*TB→=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0

即无论k取何值,都有TA→*TB→=0

∴存在T(0,1)

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

扩展资料

几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

(1)b=1,有a²=1+c²,c/a=√2/2,解得a=√2,∴椭圆方程为x²/2+y²=1
(2)若存在这样的定点,那麼当l旋转到与y轴重合时,依然满足AT⊥BT
此时的A(0,1),B(0,-1),T在以AB为直径的圆x²+y²=1上
同理,当l旋转到与x轴平行时,满足AT⊥BT
令y=-1/3,解得x1=-4/3,x2=4/3,所以A(-4/3,-1/3),B(4/3,-1/3)
T在AB为直径的圆x²+(y+1/3)²=16/9上
联立解得T的坐标为(0,1)∴TA→=(x1,y1-1),TB→=(x2,y2-1)
设直线l:y=kx-1/3,联立椭圆方程得(2k²+1)x²-4kx/3-16/9=0
x1+x2=4k/3(2k²+1),x1x2=-16/9(2k²+1)
∴y1+y2=kx1-1/3+kx2-1/3=-2/3(2k²+1),y1y2=(kx1-1/3)(kx2-1/3)=(1-18k²)/9(2k²+1)
TA→*TB→=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0
即无论k取何值,都有TA→*TB→=0
∴存在T(0,1)