85问答库 > 求答案！全解设A为n×n矩阵。证明：如果A方＝E，则秩（A+E）+秩（A-E）＝n。

求答案！全解设A为n×n矩阵。证明：如果A方＝E，则秩（A+E）+秩（A-E）＝n。

2024-11-19 08:15:49

推荐回答（2个）

回答1：

就是证明？那倒简单，用夹逼就是了。
若a*2=e，秩（a+e)+秩（a-e)显然不等于n。
所以a^2=e或a*a=e.
证：
因为(a-e)(a+e)=0
所以
r(a-e)+r(a+e)-n<=r(a-e)(a+e)所以r(a-e)+r(a+e)<=n；
同时r(e-a)=r(a-e)，r(a-e)+r(a+e)>=r(e-a+a+e)=r(2e)=n;
综上可得(a-e)+r(a+e)=n，证必。

回答2：

证:
由A^2=E，
得
(A+E)(A-E)=0
所以
r(A+E)+r(A-E)
≤
n
又
|A^2|=|A|*|A|=1，
即|A|≠0，r(A)=n
所以
n=r(2A)=r[(A+E)+(A-E)]
≤
r(A-E)+r(A+E)
所以
r(A)+r(A+E)=n
知识点:
1.
AB=0
则
r(A)+r(B)
≤
n
2.
r(A+B)
≤
r(A)+r(B)

求答案！全解 设A为n×n矩阵。证明：如果A方＝E，则秩（A+E）+秩（A-E）＝n。

求答案！全解设A为n×n矩阵。证明：如果A方＝E，则秩（A+E）+秩（A-E）＝n。