微分几何起源于古典微分几何,就是研究三维欧氏空间中的曲线和曲面的数学分支.这个分支从微积分建立伊始就开始了,高斯把它系统化,并且发现了内蕴几何. 粗略地说,内蕴几何的含义就是不需要借助于三维欧氏空间就可以刻画曲面的性质.这使得曲面可以脱离三维空间而独立存在.黎曼把这个理论发展为黎曼几何,可以研究任意维数的弯曲空间.经过黎曼、Ricci、Levi-Civita 等人的推动,流形、张量、联络、曲率等等概念都建立起来了.这就是微分流形理论的雏形.这时候的微分流形是用局部坐标来刻画的,就如同老师教地理的时候给你一本世界地图册却不拿地球仪来一样,地理老师甚至都不能明确地告诉你,我们生活在一个大致是球面的世界上,地理课就这么开下去了. 广义相对论就是在这么一个背景下建立的.除了广义相对论,分析力学也可以用类似的方式来描述（尽管它产生得更早）.此外,李群理论也在这样一个背景下,用大致相似的方式建立起来了.德国的女数学家 Noether 建立了（拉格朗日系统和哈密顿系统的）守恒律和连续对称性之间的关系,这就是著名的 Noether 定理.这些都促使物理学家关注微分几何理论. 现代微分流形理论的体系主要是在 Weyl、Whitney、Cartan 等人的工作基础上建立的.尽管基本的研究对象和黎曼以来没有太大的变化,但是在概念上都大大地深化和细化了.打个比喻,这就像地理老师搬来了地球仪来上课一样,并进而从地球讲到了整个宇宙,特别是地球在宇宙中的地位,毫无疑问地扩大了学生的视野、深化了学生的认识. 黎曼几何只是微分流形理论中的一个分支而已.当然也是最基本的一个分支.和 Lagrange 力学相关的几何与切丛密切相关,和 Hamilton 力学相关的几何则是辛几何这个分支.Lie 群理论也是一个相当重要和基本的分支.可以说,这些分支都是物理学的各种基本理论的基础. 纤维丛理论也是微分流形理论的一个分支.它不仅在数学中重要,对于现代物理学中的量子力学、经典和量子场论、粒子物理学等等,都起着基础的支撑作用.
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