1⼀(1+x^4)的不定积分怎么算啊?

∫ dx/[x(1+x⁴)]

令u=x⁴,du=4x³ dx

原式= ∫ 1/[x*(1+u)] * du/(4x³)

= (1/4)∫ 1/[u(u+1)] du

= (1/4)∫ (u+1-u)/[u(u+1)] du

= (1/4)∫ [1/u - 1/(u+1)] du

= (1/4)(ln|u| - ln|u+1|) + C

= (1/4)ln|x^4| - (1/4)ln|x^4+1| + C

= ln|x| - (1/4)ln(x^4+1) + C

扩展资料

不定积分的解法：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

1、凑微分法

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、分部积分法

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

3、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

本题技巧很高
∫ 1/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ [(1-x²)+(1+x²)]/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (1-x²)/(1+x^4) dx + (1/2)∫ (1+x²)/(1+x^4) dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫ (1/x²-1)/(x²+1/x²) dx + (1/2)∫ (1/x²+1)/(x²+1/x²) dx
=-(1/2)∫ 1/(x²+1/x²+2-2) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(x²+1/x²-2+2) d(x-1/x)
=-(1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x)
=-(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C

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1/1+x^4=1-x^4/1+x^4,x^2=u;
或者利用倒数代换吧t=1/x。