尺规能做正七边形么?
基本几何作图:
圆规,直尺作图的讨论:
一,几何问题可以转化为代数问题。(解析几何就是这样引入的。)
为简单起见,我们假设只需求作一个线段x。于是几何作图就归结为一个代数问题:
1,找出所求量x和给定的量a,b,c…之间的关系(方程);
2,解方程,求出未知量x;
3,必须确定,通过相应圆规和直尺来作图的代数过程,能否得到这个问题的解。
二,初等几何作图——圆规和直尺——的最简单代数运算:
1,加减乘除(有理式)
简单作图——简单的代数运算:如果给定两个长度为a和b的线段(用一个“给定”单位线段来测量),可以做出:a+b,a-b,ra(r是任意的有理数),a/b,ab(做法略)
即:“有理”代数过程——已知量的加减乘除——能用几何作图实现(圆规,直尺)。
……
结论:从长度为实数a,b,c,…的任意给定线段出发,连续应用这些简单作图,可以做出用a,b,c,…的有理式(即重复地应用加减乘除)来表示的任意量。
2,求平方根
结论:给定长度a的线段(用一个“给定”单位线段来测量),可以用几何作图(圆规,直尺)做出√a。(做法略)
三,正多边形
结论:2,正2^n边形,正5·2^n边形和正3·2^n边形的边,都可以完全用加减乘除和开平方得运算来求。(n=0,1,2,3,…。证明略)
例如:
正2^n边形:4,8,16,32,64…
正5·2^n边形:5,10,20,40,80…
正3·2^n:3,6,12,24,48…
(这些知识已经超出初等几何了。)
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你用这个方法。