关于为什么加减式中不能使用等价无穷小替换

原因如下：

1. 在对无穷小比无穷小求极限的过程中,可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换.

2. 加减时一般不能用等价无穷小替换,加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在,且极限不等于-1,则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换.

拓展资料：其实大部分的加减法替换能成功都是偶然的。如果硬要说条件的话就是替换后必须是原极限要变成“两个极限加减的形式而且这两个极限都必须存在”

比如
lim (sinx+tanx+x)/x    （x->0)
=lim (x+x+x)/x
=3

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。

拓展资料：

极限运算法则+两个重要极限：

1、有限个无穷小的和也是无穷小

2、有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小

3、常数与无穷小的乘积仍为无穷小

4、有限个无穷小的乘积任为无穷小

5、如果limf(x)=A，limg(x)=B

limf(x)+limg(x)=A+B

limf(x)-limg(x)=A-B

limf(x)*g(x)=A*B

limf(x)/g(x)=A/B

c为常数

lim[cf(x)] = climf(x)

lim[f(x)]^n= [limf(x)]^n

6、设有数列{xn}和{yn}，如果limxn=A，limyn=B，

则lim（xn+yn）= A+B

lim(xn*yn) = A*B

当x→∞时，lim(sinx/x)=0

因为1/x趋向于0，sinx为有界函数，符合第二点

准则一：夹逼准则

{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：

1）yn<=xn<=zn,n=1,2,3......

2）limyn=a,limzn=a,则数列{xn}极限存在，并且limxn=a。

由此推出   当x→0,lim(sinx/x)=1

由此推出  当a（x）是无穷小时，lim[sina(x)/a(x)]=1

准则二：单调有界数列必有极限

单调增加有上界的数列必有极限

单调减少有下界的数列必有极限

由此推出：lim（1+1/n）^n=e

n→∞

在极限lim[1+a(x)]^1/a(x)中，只要a(x)是无穷小，就有lim[1+a(x)]^1/a(x)=e

加减项中如果每一项都是无穷小，各自用等价无穷小替换以后得到的结果不是0，则是可以替换的。用泰勒公式求极限就是基于这种思想。
举一个例子让你明白：
求当x→0时，(tanx-sinx)/(x^3)的极限。
用洛必塔法则容易求得这个极限为1/2。
我们知道，当x→0时，tanx～x，sinx～x，若用它们代换，结果等于0，显然错了，这是因为x-x=0的缘故；
而当x→0时，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它们也都是等价无穷小（实际上都是3阶麦克劳林公式），若用它们代换：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正确的结果。

当加减可以看成一个整体时是可以用等价无穷小替换的，你上面图片中的最后一步单独拿出来是对的，如果放在不同的题里就要根据我上面说的看一下了。课本上没有说决定不能在加减的时候使用，这点儿在参考书里有提到，张宇十八讲和复习全书都提到了，另外，是x-sinx=1/6 x³

lim (sinx-x)=lim(-1/6 x^3)=0
他们差不是0，只是极限是0，极限可拆分的情况下可以直接当0，不可拆分的话就必须还原成-1/6 x^3