我的理解是，这个证明是严密的，它的重点是要说明存在常数δ，就是找到一个δ就叫做存在。证明的过程就是在说明他找到了那一个δ，怎么说明的呢？因为函数有极限，所以根据ε-δ定义，δ=f(ε),这里的ε是指小正数，关键在于一个小字，如果你取 了2A，那么他也许就不够小了，证明给的是取A的一半，然后根据ε与δ之间的关系，必然存在一个δ可使结论成立，当然这里ε的取值可以有很多，但是没有必要把所有的成立的ε取值都列出来，因为关键只要找到一个δ，就叫做存在δ了。不知道我这么说能不能帮到你，至于A=0时，这个定理就没有意义了，为什么叫保号定理？保号保号，保的就是x0附近很小一个空心领域内所有点的符号，保证这些点的符号都跟A的符号一致，才叫保号嘛，等于0就没有符号而言了。
当然以上是我个人见解，不到之处还请见谅。
上面的仁兄描述比较完整，但我觉得可以精练一下。
一、这个证法很严密。
如果你是学《数学分析》的话，“缺什么东西就去想法找一个”这种想法是司空见惯的，思维一定要“大胆活跃”。
完全是利用ε-δ语言（逆向运用）来证明的。
只是你已经习惯了“任意ε>0，去找一个δ使当0<|x-x‘|<δ成立时，|f(x)-A|<ε，”从而证明极限的思考模式。
现在已知极限，那么也就是说对“任意一个ε>0，都会有相应的δ，使当0<|x-x‘|<δ成立时，
|f(x)-A|<ε”。所以我就取这个任意的ε为A/2，带入上面的关系得到保号性。
当然你也可以取ε为2A，只不过得到f(x)的范围更大，不能说明“保号性”，但并不是“说明不具有保号性”。（0<ε
二、关于0这个点：
“零的任何邻域中总包含正数和负数”
这一句话就能说明A为什么不为0.
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