求根号下(a^2-x^2)的不定积分

常数系数为a

变式为：

∫√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)-∫xd√(x^2+a^2)

=x√(x^2+a^2)-∫x^2/√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)-∫(x^2+a^2-a^2)/√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)-∫[√(x^2+a^2)-a^2/√(x^2+a^2)]dx

移项后为：

2∫√(x^2+a^2)dx=x√(x^2+a^2)+a^2∫1/√(x^2+a^2)dx

=x√(x^2+a^2)+a^2ln|x+√(x^2+a^2)|+2c

所以：

原式=1/2 x√(x^2+a^2)+1/2 a^2ln|x+√(x^2+a^2)|+c

扩展资料：

不定积分的求法小结：

1、换元法

定理1    设f（u）具有原函数，u=ᵩ（x）可导，则有换元公式：

2、分部积分法

分部积分法的关键是找到分子分母中两个指数函数的关系，分子分母同除一个指数函数，巧妙变成一个指数函数，再换元，之后拆开就可以写出积分。

参考资料来源：百度百科——不定积分

∫√（a^2-x^2）dx

设x=asint
则dx=dasint=acostdt
a^2-x^2
=a^2-a^2sint^2
=a^2cost^2

∫√（a^2-x^2）dx
=∫acost*acostdt
=a^2∫cost^2dt
=a^2∫（cos2t+1）/2dt
=a^2/4∫(cos2t+1)d2t
=a^2/4*(sin2t+2t)

将x=asint代回
∫√（a^2-x^2）dx=x√(a^2-x^2)/2+a^2*arcsin(x/a)/2+C

I = ∫√(a²-x²) dx 令 x = a sint, dx = a cost dt
= a² ∫ cos²t dt = a²/2 ∫ (1+ cos2t) dt
= a²/2 (t + (1/2) sin2t ) + C
= a²/2 arcsin(x/a) + (1/2) x √a²-x²) + C

注： (1/2) sin2t = sint cost = (x/a) * √(a²-x²) / a