1⼀(1+sinx^2的不定积分

解题过程如下：

∫[1/(1+sin²x)]dx=∫[1/(sin²x+cos²x+sin²x)]dx

=∫[1/(cos²x+2sin²x)]dx

=∫[1/(1+2tan²x)]*(1/cos²x)dx

=∫[1/(1+2tan²x)]dtanx

=(1/根号2)∫[1/(1+2tan²x)]d((根号2)*tanx)

=(1/根号2)arctan((根号2)tanx)+C（C为任意常数）

用到结论：

常用的不定积分：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 

3）∫1/xdx=ln|x|+c 

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c 

5）∫e^xdx=e^x+c 

6）∫sinxdx=-cosx+c 

7）∫cosxdx=sinx+c 

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 

15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c 

16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 

17) ∫shx dx=chx+c; 

18) ∫chx dx=shx+c; 

19) ∫thx dx=ln(chx)+c

扩展资料：

①cos²x+sin²x=1

②tanx=sinx/cosx

③换元法：

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换。

参考资料：百度百科-三角函数

百度百科-不定积分

转换方法：

∫[1/(1+sin²x)]dx=∫[1/(sin²x+cos²x+sin²x)]dx
=∫[1/(cos²x+2sin²x)]dx
=∫[1/(1+2tan²x)]*(1/cos²x)dx
=∫[1/(1+2tan²x)]dtanx
=(1/根号2)∫[1/(1+2tan²x)]d((根号2)*tanx)
=(1/根号2)arctan((根号2)tanx)+C（C为任意常数）

1/(1+（sinx）^2）
=2/（3-cos2x）=1/（3/2-1/2cos2x）

其不定积分为：
（1/根号2）*arctan[(根号2)*sin2x]/(3cos2x-1)