85问答库 > 设A为m*n矩阵，并且r(A)=n,又B为n阶矩阵，求证：如果AB=A则B=E

设A为m*n矩阵，并且r(A)=n,又B为n阶矩阵，求证：如果AB=A则B=E

2024-11-19 04:39:04

推荐回答（3个）

回答1：

因为 AB=A
所以 A(B-E)=0
所以 B-E 的列向量都是 Ax=0 的解
由已知 r(A)=n, 所以 Ax=0 只有零解
所以 B-E 的列向量都是零向量
所以 B-E=0
即有 B=E.

回答2：

设方程AX=A;rank(A)=rank(A,A),相容方程，方程必有解；A为m*n矩阵，并且rank(A)=n，所以A可以进行满秩分解，即A=FG,F为m*n矩阵，rank(F)=n,G为n*n矩阵，rank(G)=n，G 一定可逆，那么AX=A等价于FGX=FG,FGXG'=FGG',GXG'=In,X=G'InG=In

回答3：

AB=A
AB-A=0
A(B-E)=0
R(A)+R(B-E)《n
r（B-E）=0
B=E得证