:齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是：|A|=0
而设A的特征值是x1 x2 ……xN
|A|=x1*x2*……*xN=0
则x1 x2……xN中至少有一个为0
也就是A至少有一个0特征值
只有A可相似对角化的时候detA才等于特征值的积。
这道题证明如下：
充分性：A有一个0特征值，所以det(0E-A)=0所以det(-A)=0=detA
所以A不满秩，显然AX=0有非零解。
必要性:若AX=0有非零解，则detA=0
所以det(0E-A)=0所以0自然是A的一个特征值。
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