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已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+4，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+4，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项
2025-04-12 08:36:33
推荐回答（1个）
回答1：
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a
n
}的公差为d≠0．
因为S
3
=a
4
+4，
所以
3
a
1
+
3×2×d
2
＝
a
1
+3d+4．①
因为a
1
，a
2
，a
4
成等比数列，
所以
a
1
(
a
1
+3d)＝(
a
1
+d
)
2
．②…（5分）
由①，②可得：a
1
=2，d=2．…（6分）
所以a
n
=2n．…（7分）
（Ⅱ）由a
n
=2n可知：
S
n
＝
(2+2n)×n
2
＝n(n+1)
．…（9分）
所以
1
S
n
＝
1
n(n+1)
＝
1
n
?
1
n+1
．…（11分）
所以
1
S
1
+
1
S
2
+
1
S
3
+…+
1
S
n?1
+
1
S
n
=
1?
1
2
+
1
2
?
1
3
+…+
1
n
?
1
n+1
=
1?
1
n+1
＝
n
n+1
．
所以数列
{
1
S
n
}
的前n项和为
n
n+1
．…（12分）
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