高等数学线性代数问题

实对称矩阵是可以相似对角化，（额，我们一般会叫相合，因为是正交矩阵，其逆矩阵即为转置矩阵，相似变换即为相合变换了），所以第四步不用正交化了，直接单位化即可，因为你这是在求“标准形”，二次项系数若非0则必为1。此时C为单位正交矩阵。如果不单位化，f的矩阵A仅仅是对角阵，其行列式不是1，与标准做法得到的结果无非相差一个伸缩变换而已。
例：x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0，A=(1 1 1 ,1 1 1 ,1 1 1)，特征值3,0，3对应特征向量(1 ,1 ,1)'，0对应特征向量(-1 ,1 ,0)'和(-1 ,0 ,1)'，单位化得到C=(根号3/3 -根号2/2 -根号2/2 ,根号3/3 根号2/2 0 , 根号3/3 0 根号2/2 ) ,则变换后二次型的新矩阵为(1 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为x^2=0，若不单位化，则变换后二次型的新矩阵为(9 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为9x^2=0，ps:我举了个平面的例子，一般的曲面也对.。

对于后边问的，“第三步到第五步有这个必要吗？求出特征值之后，直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗？”是可以直接写的，但题目有时会问你用的什么变换，要具体写出变换，这仅仅是题目考法，要不算个特征值那就太简单了。。。

若是用正交化方法化二次型 为标准型，则第三步到第五步是必须的，要不你到哪里去求那个正交变换呢？

若不对特征向量进行标准正交化，那就不是正交对角化，而是相似对角化了.

我倒是想给你回答。可惜这是大一上学的、、早就忘光了啊！不好意思哦！