85问答库 > 已知函数f(x)=ae^x+(a-1)⼀x-2(a+1)(a>0)

已知函数f(x)=ae^x+(a-1)⼀x-2(a+1)(a>0)

2024-11-18 20:19:37

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回答1：

f(x)=ae^x+(a-1)/x-2(a+1)(a>0)

f'(x)=ae^x+(1-a)/x^2
当0＜a≤1时候，则有f'(x)=ae^x+(1-a)/x^2 恒大于0，即x∈（0，+∞），f(x)单调递增，因为恒有f(x)≥0成立，显然此时不可能（当x无限趋向0时候不成立）
当a＞1时候，f'(x)=ae^x+(1-a)/x^2，对于任意的x∈（0，+∞），恒有f(x)≥0成立，则有函数f(x)存在最小值且大于0，此时f'(x)=ae^x+(1-a)/x^2=0（无法直接获得x），则有x^2 e^x=(a-1)/a<1,而e^x>1，即x^2<1,所以x的取值范围（0，1），取x=1代入得a>3/(e-1)
此解仅做参考

回答2：

提供你思路吧，你可以尝试一下：
注意到后面都有（a-1)这个式子，可以把a*e^x也凑出来
f(x)=（a-1)e^x+(a-1)/x-2(a-1)-4+e^x
=(a-1)（e^x+1/x-2)-4+e^x
然后分离参数，注意要讨论x的范围才能出过去
你可以试试看，我没做，可能比较麻烦。