初中数学二次函数的难题?

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【31. 2012娄底】
24．已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

解答：解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，
令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①，则有：
x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m．∴===，
化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．
如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中，∵，∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD=OC=2，即yP=2，∴直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1，∴P（﹣1，2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）．

【32. 2012福州】
22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N

解答：解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴，解得：．∴抛物线的解析式是y＝x2－3x．
(2)设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1．∴直线OB的解析式为y＝x．
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．
∵点D在抛物线y＝x2－3x上．
∴可设D(x，x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上，
∴x2－3x＝x－m，即x2－4x＋m＝0．
∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△＝16－4m＝0，解得：m＝4．
此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴D点坐标为(2，－2)．
(3)∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)．
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，
∴4k2＋3＝4，解得：k2＝．∴直线A'B的解析式是y＝x＋3．
∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上，
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴n＋3＝n2－3n，
解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，∴点N的坐标为(－，)．
方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1(－，－)，B1(4，－4)，∴O、D、B1都在直线y＝－x上．
∵△P1OD∽△NOB，
∴△P1OD∽△N1OB1，∴＝＝，∴点P1的坐标为(－，－)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．
图2
A'
N2
P1
P2
B2
A
B
D
O
x
y
N
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．
方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，
则N2(，)，B2(4，－4)，
∴O、D、B2都在直线y＝－x上．
∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N2OB2，
∴＝＝，∴点P1的坐标为(，)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－，－)．
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．

【33. 2012南昌】
27．如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

解答：解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；
∴﹣=﹣=2，==﹣1；
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）．
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2或定点的横坐标为2，都经过A（1，0），B（3，0）两点；
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，
解得：x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6，∴线段EF的长度不会发生变化．

【34.2012•恩施州】
24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

解答：
解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，解得故直线AC为y=x+1；

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x﹣1）由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=
∴E（，）或（，）
综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x﹣1）=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+
∴△APC的面积的最大值为．

【35. 2012•兰州】
28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

解答：
解：(1)∵抛物线y＝经过点B(0，4)∴c＝4，
∵顶点在直线x＝上，
∴；∴所求函数关系式为；

(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x＝5时，y＝，
当x＝2时，y＝，
∴点C和点D都在所求抛物线上；

(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，
解得：，∴，
当x＝时，y＝，∴P()，

(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON＝，
设对称轴交x于点F，
则(PF＋OM)•OF＝(＋t)×，
∵，
()×＝，
S＝(－)，＝－(0＜t＜4)，S存在最大值．
由S＝－(t－)2＋，∴当S＝时，S取最大值是，
此时，点M的坐标为(0，)．

【36. 2012南通】
28．（本小题满分14分）
如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．
【解答】解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
0+c=-4 1 2×4-2b+c=0 ，
解得：b=-1 c=-4
∴抛物线的解析式：y=x2-x-4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：
y=（x+m）2-（x+m）-4+7 2，
即：y=x2+（m-1）x+12 m2-m-1 2；
它的顶点坐标P：（1-m，-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=5 2；
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜5 2；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5 2．
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；
易得：AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，
∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2．
综上，AM的长为6或2．

【36. 2012常德】
25、如图11，已知二次函数的图像过点A(-4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由。
解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代人中，整理得：
解得
∴二次函数的解析式为： ，

整理得：

（2）由 整理
∴X1=-2 ，X2= ∴C（-2，0）D
从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65
∴AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形
（3）设 （X<0）
PH= HD= AC= BC=
①当△PHD∽△ACB时有：
即： 整理
∴ （舍去）此时， ∴
②当△DHP∽△ACB时有：
即： 整理
∴ （舍去）此时，∴
综上所述，满足条件的点有两个即

【37. 2012荆门】
24.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．∴y=﹣x2+2x+3．则点B（1，4）．

（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE==3．
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P2在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；
而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9
即：P2（9，0）；
③DE为长直角边时，点P3在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；
综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．

（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得解得∴y=﹣2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．
情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得，即．
解得HK=2t．∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ=2（3﹣t）．
∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+．
综上所述：s=．

【39. 2012•黔东南州】
24．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故N=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

【40. 2012广东珠海】
21.如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=　　；AC=　 ；（2）若S2=3S1，求x；
（3）设S2=mS1，求m的变化范围．

解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，
∴四边形DBKC是平行四边形，∴BK=CD=，CK=BD，∴AK=AB+BK=3+=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，∴AC=CK，∴BK=EK=AK=2=CE，
∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，∴∠AHB=∠ACK=90°，∴AC=AK•cos45°=4×=4；
故答案为：90°，4；

（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．
①当0＜x＜时，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG，∴=4，∴S2=4S1≠3S1；
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3，
∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，∴S△CRQ=2×（）2=8（2﹣x）2，
∵S梯形ABCD=（AB+CD）•CE=×（3+）×2=8，S△ABD=AB•CE=×3×2=6，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，∴，∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2，
∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3×x2，解得：x1=＜（舍去），x2=2，∴x的值为2；

（3）由（2）得：
当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，
∵S2=mS1，∴m===﹣+﹣12=﹣36（﹣）2+4，
∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4，
当x=2时，m最小，最小值为3，∴m的变化范围为：3≤m≤4．

认真学还是没问题的。