由y=xsinx
其中：x∈R,∴y∈R
即不满足|y|≤A（A是常数）
∴y=xsinx不是有界函数
有界函数有正弦函数sinx 和余弦函数cosx
有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M和y=M之间（当自变量为x时），笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明所考虑的区间。
有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
反证法，
假设函数有界，
则存在M＞0，
|f(x)|≤M在(0，+∞)内处处成立
取xn=2nπ+π/2 (n∈N*)
则f(xn)=2nπ+π/2
当n＞M/(2π)-1/4时，
|f(xn)|＞M
∴矛盾，
∴f(x)是无界函数。
如图所示
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