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高数下 f（x,y)=x的三次方 y的三次方减3xy的极值应用题求具体步骤考试求帮忙

2024-11-18 06:15:21

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回答1：

求函数f(x，y)=x³+y³-3xy的极值
解：令∂f/∂x=3x²-3y=0，得x²-y=0...........(1)
再令∂f/∂y=3y²-3x=0，得y²-x=0...............(2)
由(1)得y=x²，代入(2)式得x⁴-x=x(x³-1)=x(x-1)(x²+x+1)=0，故得x₁=0，x₂=1；
相应地，y₁=0，y₂=1；故得驻点M(0，0)和N(1，1)；
A=∂²f/∂x²=6x；B=∂²f/∂x∂y=-3；C=∂²f/∂y²=6y；
驻点M: A=0；B=-3；C=0；B²-AC=9>0，故点M不是极值点；
驻点N: A=6>0；B=-3；C=6；B²-AC=9-36=-27<0，故N是该函数的极小点；
minf(x，y)=f(1，1)=1+1-3=-1.

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