关于洛必达法则的问题

你这里极限运算的写法太随意了, 如果你把过程清楚的写出来, 就能发现问题所在.

首先说直接用L'Hospital法则的正确解法.
由f(x)在x = 0二阶可导, 且f'(0) = 1, 有lim{x → 0} (f'(x)-1)/x = f"(0) (导数定义, 或L'Hosptal法则).
于是lim{x → 0} (f(x)-x)/x²作为0/0型的极限, 根据L'Hospital法则有:
lim{x → 0} (f(x)-x)/x² = lim{x → 0} (f'(x)-1)/(2x) = 1/2·lim{x → 0} (f'(x)-1)/x = f"(0)/2.

如果将(f(x)-x)/x²分成f(x)/x²和-1/x两项, 二者在x → 0时都不是收敛的.
lim{x → 0} (f(x)-x)/x² = lim{x → 0} f(x)/x² - lim{x → 0} 1/x这种写法没有意义(两个不存在的极限之差).
后面的步骤, 虽然lim{x → 0} f(x)/x = lim{x → 0} f’(x)是成立的,
但是lim{x → 0} f(x)/x² = lim{x → 0} f'(x)/x也是没有意义的(两个不存在的极限相等).
最后lim{x → 0} f'(x)/x - lim{x → 0} 1/x = lim{x → 0} (f'(x)-1)/x也是两个不存在的极限之差.
这三步不符合极限运算法则, 使得推导过程无效.
尤其是第二步, 可以类比由lim{x → 0} x = 0得到1 = lim{x → 0} x/x = 0/x = 0这种矛盾.

有疑问请追问.

你那个等式不成立，你是(f(x)-0)/x*1/x-1/x，对吧。因为1/x不是常数，所以这个等式前一个等号的变换是不对的，好好看看课本

我好久没动过高数，有不对的地方还请见谅