空间向量在立体几何中的应用

2025-02-21 00:11:57

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回答1：

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

首先该图形能建坐标系
如果能建
则先要会求面的法向量
求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量
2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z）
然后因为法向量垂直于面
所以n垂直于面内两相交直线
可列出两个方程
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数
然后就求出面的一个法向量了

会求法向量后
1。二面角的求法就是求出两个面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角
如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交
那么上面两向量的夹角就是所求

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量
然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

回答2：

一、空间中角的向量求法

空间中各种角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点，借助于向量的夹角公式可以很方便的避开寻找角的过程，而是通过对向量夹角的计算来实现。

夹角公式：设

则

现以近几年的高考题来分析这个公式在求解异面直线所成角及二角的平面角问题中的应用。

⒈异面直线所成角的计算问题

求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量和，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角

例1 （2006广东卷）如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.

⑴ 求直线BD与EF所成的角

解：以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）

所以，

设异面直线BD与EF所成角为，则

直线BD与EF所成的角为

方法小结：空间向量在解决异面直线所成角的计算时，通常要先建立空间直角坐标系，然后利用计算出两个向量的坐标在带入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是，而异面直线所成角的范围确是，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。

⒉关于二面角的二面角的计算

二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解。最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角。

例2 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1。若 AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成的二面角的度数α。

解：以A1为原点，构造空间直角坐标系，如图8，设△A1B1C1边长为1，则A1（0，0，0），B1（，，0），C1（0，1，0），A（0，0，1），B（，，1），显然是平面A1B1C1的法向量，

又AA1=A1B1，所以 ⊥ ，从而是平面A1EC的法向量， =（0，0，1）， =（0，1，－1），设此两法向量的夹角为θ，

则 cosθ= ，

从而 coa(π－θ)=cosα= ，

∴所求二面角的度数为α=arcos = 450

方法小结：借助平面的法向量求解二面角的平面角时，一定要注意判断法向量间的方向。

二、空间中距离的计算

借助向量求解距离主要有两种方法，通过距离公式或者向来能够的正投影。

⑴设，则

⑵如图，点A到平面a的距离等于a的斜线段AB在a的法向量上的正射影长，即：d＝A1B1＝；

⑶a、b为异面直线，，若b�0�0a，a∥a，为a的向量，A1、B1分别为a、b上两点在上的正射影，则a、b的距离d＝A1B1＝

例3 已知: 平面α，直线l上有两点A，B到平面α的距离分别为m，n，C为直线l上任意一点(不与A，B重合)，且AC∶CB=λ，求点C到平面α的距离。

分析：此题通过化归为平面几何问题，结合向量共线充要条件，使得问题的解决顺其自然，而无需死记坐标公式。

解: 以直线l在平面α的射影为x轴，以直线l与的交点O为原点建立直角坐标系，如图，设A(xA，m)，B(xB，n)，C(xC，yC)，设各点在上的射影分别为A1，B1，C1，

=（xC－xA，yC－m）， =(xB－xC，n－yC)。

已知AC∶CB=λ，且A、B、C三点共线，则向量 =±λ ，

即（xC－xA，yC－m）=±λ(xB－xC，n－yC)，

yC－m=±λ(n－yC)，

得 (取正号)，yC= (取负号)，

有两个结果是由于A，B或在平面同侧或在平面异侧，

当A、B同侧，C到平面距离为，异侧， yC= 。

(说明，此题通过化归为平面几何问题，结合向量共线充要条件，使得问题的解决顺其自然，而无需死记坐标公式。)

三．空间中的证明

用平面的法向量和直线的方向向量来证明空间几何问题，简单快捷。解题的关键是先确定与问题相关的平面及其法向量.如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量.

例4 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，E、F分别为PA、PC上的中点。

(1) 求证：四棱锥的高取任意值（不为0），平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于900；

(2) 当四棱锥的高为何值时，PD⊥平面EFB。

证明（1）：以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图。

设四棱锥高为h，则各点坐标为A（0，a，0），C（a，0，0），P（0，0，h）。过点B作BB1⊥AP交AP于点B1，则B1（0，y，z），（显然z≠0），

∵ ⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，

∴ =（0，－y，－z）是平面PAD的法向量，

同理可得平面PCD的法向量 =（－x，0，－z）,

设此两法向量夹角为θ，

则cosθ= ＞0 ，

从而所求二面角的余弦值 cos(π－θ)＜0。

∴平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于900 。

解（2）：E(0，， )，F( ，0， )，D(a，a，0)，

若 ⊥平面EFB，则 · =(a，a，－h)·(0，－，－ )=0，

即－ + =0 ，

化简得 a=h，∴当h=a时，PD⊥平面EFB。

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