高等代数包括线性代数吗？

2024-11-20 05:25:13

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回答1：

高等代数
代数学的一门基础课程,包括多项式论和线性代数两部分内容,主要介绍它们的基础知识和基本理论,以及研究它们的基本方法.多项式论以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容,并讨论复数域、实数域和有理数域上的一元多项式以及多元多项式中的对称多项式.线性代数部分主要介绍行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换和欧几里得空间.
多项式论是代数学的一个古老分支.在中国,《九章算术》(成书不迟于公元1世纪)中一次方程组的解法和现在中学数学中讲授的方法基本相同.《益古演段》(李冶,1259)和秦九韶的著作中,用算筹的方法表示一个方程或多项式,在此方法的基础上,宋、元数学家建立了多项式运算,并且用这种方法列出方程.朱世杰在《四元玉鉴》(1303)中记述了四次方程的解法.在古代开平方、开立方的基础上发展起来的高次方程的数值解法是对当时数学的卓越贡献.《数书九章》(秦九韶,1247)中求解高次代数方程的一种数字解法,其演算步骤和鲁菲尼-霍纳方法完全相同.
在欧洲,古希腊最杰出的数学成就是几何学,欧几里得(Euclid)的《原本》集其大成,但它也包含有算术、数论和代数的内容,只是在代数方面还处在文字叙述阶段.公元500年,由语法学家梅特多鲁斯(Metrodorus)收集46个问题而成《选集》,许多内容起源较早,其中,半数问题导出一元线性方程,有十几个问题导出易解的二元联立方程,一个问题导出三元三次方程,另一个问题导出四元四次方程.最早致力于代数问题研究的是公元3世纪的丢番图(Diophantus),他的《算术》的尚存部分主要是一次和二次方程问题的解法,还解出一个特殊的三次方程.他还触及到一元、二元、三元的二次甚至高次的不定方程.
18世纪末至19世纪初,代数方程的解法问题被认为是代数学研究的中心.这个问题的发生是因为一元n次代数方程xn+a1xn-1+…+an-1x+an＝0的解法对于数学的重要性及其应用的广泛性,另一方面还由于大多数与其相联系的理论证明的深刻性与困难性.任何二次方程x2+px+q=0都可以借助于公式

x=-±

而求解.16世纪,意大利代数学家求得了三次和四次方程的相应求解公式.对于更高次的代数方程,求解问题遇到了不可克服的困难.当时的数学家,如塔尔塔利亚(Tartaglia,N.)、卡尔达诺(Cardano,G.)、费拉里(Ferrari,L.)、笛卡儿(Descartes,R.)、牛顿(Newton,I.)、贝祖(Bézout,É.)、拉格朗日(Lagrange,J.-L.)、欧拉(Euler,L.)、达朗贝尔(d′Alembert,J.L.R.)、契恩豪斯(Tschirnhaus,E.W.)、高斯(Gauss,C.F.)、阿贝尔(Abel,N.H.)、伽罗瓦(Galois,E.)、罗巴切夫斯基(Лобачевский,Н.И.)和斯图姆(Sturm,C.-F.)等创造了与这个问题有关的大量的复杂理论.高等代数中只是介绍其中最简单和最基本的一部分.
线性代数是代数学的重要分支之一.线性函数是线性代数的研究对象.历史上线性代数的第一个问题是求解线性方程组.从线性代数的研究对象必然会导致对矩阵的研究.矩阵论是线性代数中重要而且不可缺少的部分,它在提出与解决线性代数的问题中起着工具性的作用.几何学,特别是解析几何学的研究需要发展线性代数.采用向量的概念,将通常的几何空间推广到n维向量空间,使解析几何和线性方程组的理论显得特别的简单和清楚.为进一步地推广n维向量空间而引进一般的线性空间的概念是自然的和有益的.这种广义空间的元素可以是任意的数学对象或物理对象.高等代数中线性代数部分介绍的内容及其进一步的理论,就其应用的重要性和广泛性来说,是第一位的.很难指出在数学、理论力学或理论物理等学科以及科学技术中,有不用到线性代数的结果和方法的.例如,线性代数对于泛函分析的发展就起着决定性的影响.
高等代数就其内容来说不同于几何和数学分析.几何和数学分析是在实数范围内讨论问题的,而高等代数基本上是在任意数域上讨论其各种问题的.高等代数不同于几何和数学分析的另一个特点是方法的不同.代数方法,即对不同对象的代数运算及其性质的讨论和研究的方法,是高等代数最重要的主题.例如,多项式、矩阵、线性变换等的加法与乘法及其性质的研究和讨论几乎贯穿高等代数的始末,是高等代数研究的中心问题.高等代数还有一个重要的思想方法,即利用等价分类并从每个等价类中寻求适当的代表元的方法.例如,矩阵的秩、矩阵按相似或合同分类、解线性方程组、求二次型的各种标准形、线性空间的同构以及矩阵和λ矩阵在各种不同分类中求标准形的问题等,都属于这种情况.当然,从根本上说,这种思想方法不仅在代数而且在其他的数学学科,甚至在任何科学领域中都要频频涉及,然而在高等代数中,这种思想方法的特点尤为明显和突出,并几乎贯穿于高等代数的所有内容之中.

回答2：

是的。高等代数除了包括线性代数还有多项式代数。

回答3：

当然包括

回答4：

包括

回答5：

包括的。
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