已知sinx⼀x是f(x)的原函数，求∫x*f✀(x)dx.

∫x*f'(x)dx.==（xcosx-2sinx）/x+C，C为常数。

解答过程如下：

sinx/x是f(x)的原函数。

即∫f(x)dx=sinx/x+C

求导得到f'(x)= (cosx *x -sinx)/x²

那么∫x*f'(x)dx

=x* f(x) -∫f'(x)dx

= (cosx *x -sinx)/x -sinx/x +C

=（xcosx-2sinx）/x+C，C为常数

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

sinx/x是f(x)的原函数
即∫f(x)dx=sinx/x+C
求导得到f(x)= (cosx *x -sinx)/x²
那么∫x*f'(x)dx
=x* f(x) -∫f(x)dx
= (cosx *x -sinx)/x -sinx/x +C，C为常数

简单分析一下，详情如图所示