微积分中如何判断函数在一个区间内是否可导且连续

我们一步一步来：

函数连续定义：
设函数y=f(x)的定义域为D，x0∈D，若limf(x)(x→x0)=f(x0),则称f（x)在x0点连续，x0点称为f(x)的一个连续点；否则称f（x)在x0点不连续（或称为间断）。

函数连续条件：
又由于若limf(x)(x→x0)=f(x0),则limf(x)(x→x0-)=f(x0)（左连续）；limf(x)(x→x0+)=f(x0)（右连续）；
且由limf(x)(x→x0-)=f(x0)；(x)(x→x0+)=f(x0)=>limf(x)(x→x0)=f(x0),故：f(x)在x0点连续的充要条件是f(x)在x0点既左连续又右连续。

函数可导：
设y=f(x)在x0某一邻域内有定义，若极限

lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)（x→x0+)存在，则称f(x)在x0点右可导，且称上面的极限f(x)在x0点的右导数，用f'+表示；若极限

lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)（x→x0-)存在，则称f(x)在x0点左可导，且称上面的极限f(x)在x0点的左导数，用f'-表示.

函数可导：
f(x)在x0处可导的充要条件是f(x)在x0点左可导又右可导，且f'+(x0)=f'-(x0).

一个函数在一个区间内可导且连续必须满足上面所有条件,还是举几个实例来看看吧：
1.设f(x)=√(x^3),x≥0
=x^(1/3),-1≤x＜0
=x/3-2/3,x＜-1.判别f（x）在x=0和x=-1处是否可导？
解：由于lim[f(x)-f(0)]/(x-0)(x→0+)=lim√(x^3)/x(x→0+)=0
lim[f(x)-f(0)]/(x-0)(x→0-)=limx^(1/3)/x(x→0-)=+∞
因此f（x）在x=0点不可导
又由于lim[f(x)-f(-1)]/(x+1)(x→-1+)=lim[x^(1/3)+1]/(x+1)=1/3
lim[f(x)-f(-1)]/(x+1)(x→-1-)=lim(x/3-2/3+1)/(x+1)=1/3
因此f（x）在x=-1点可导，且f'（-1)=1/3.

2.判别f(x)=|x|在x=0点是否可导.
解：由于lim|x|/x(x→0+)=1, lim|x|/x(x→0-)=-1,f'+(0)≠f'-(0),因此f(x)=|x|在x=0点不可导可导.

由以上两例我们是否能有所发现呢？
f(x)在x0点连续，但f（x)在x0点未必可导，尤其是|f(x)|在f(x)=0点未必可导.

综上，f(x)在x0点连续是f(x)在x0点可导的必要但不充分条件.也就是说如果f(x)在x0点可导，那么它必然在x0点连续；但已知f（x)在x0点连续，f(x)在x0点是否可导还要进一步运用上面的定义性质判断.

可导必然连续,连续不一定可导

判断连续: 设点x0,若x趋于x0时,limf(x)=f(x0),则f(x)在x0连续

判断可导: 需证左导=右导,由定义
lim(f(x)-f(x0))/(x-x0),其中x趋于x0+和x0-

举个例子吧,f(x)=|x|

要证在x=0是否可导

x趋于x0+时,lim (f(x)-f(0))/(x-0)=lim x/x=1
x趋于x0-时,lim (f(x)-f(0))/(x-0)=lim (-x)/x=-1

所以左导不等于右导,f(x)在0点导数不存在