85问答库 > 已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 3 =45，a 1 =a 4 =14．（1）求数列{a n

已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 3 =45，a 1 =a 4 =14．（1）求数列{a n

2025-04-04 15:52:21
推荐回答（1个）
回答1：

（1）∵等差数列{a n }中，公差d＞0，
∴
a 2 ? a 3 =45
a 1 + a 4 =14
?
a 2 ? a 3 =45
a 2 + a 3 =14
?
a 2 =5
a 3 =9
?d=4? a n =4n-3 （3分）
（3分）
（2） S n =
n(1+4n-3)
2
=n(2n-1) ， b n =
S n
n+c
=
n(2n-1)
n+c
，
由2b 2 =b 1 +b 3 得
12
2+c
=
1
1+c
+
15
3+c
，化简得2c 2 +c=0，c≠0，
∴ c=-
1
2

反之，令 c=-
1
2
，即得b n =2n，显然数列{b n }为等差数列，
∴当且仅当 c=-
1
2
时，数列{b n }为等差数列．（9分）
（3）c n =
8
( a n +7)? b n
=
1
(n+1)n
=
1
n
-
1
n+1
，∴ T n =1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+ …+
1
n
-
1
n+1

f（n）=Tn?（ a n +3-
8
b n
）?0.9 n =
n
n+1
?(4n-
4
n
) ? 0.9 n =4（n-1）?0.9 n （11分）
∵f（n+1）-f（n）=4?0.9 n [0.9n-（n-1）]=4?0.9 n [1-0.1n]n∈N +
∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n），
f（n） max =f（10）=f（11），（13分）
∴存在n 0 =10或11，使f（n）≤f（n 0 ）对一切n∈N * 都成立．（14分）

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