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2025-02-25 21:29:46

推荐回答（3个）

回答1：

最省砝码设置问题经科学家验证，在天平上用4个砝码就可以称出从1克到40克的全部整克的重量
所需要的砝码是：1、3、9、27克四种规格。例如：被称量物体加 1克砝码与 9克砝码相等时，被称量物体的重量为8克，也就是等于两个砝码的差。
详细的你可以查找最省砝码设置问题
最省砝码设置问题的数学模型
蒋晓云
桂林师专数学与计算机科学系广西桂林 541001
【摘要】通过对砝码的最省设置问题的研究，建立了解决这一类问题的数学模型，并给出了一个有效、简便、操作程序化的求解算法。
【关键词】砝码，数学模型，算法，猜想。

砝码的最省设置问题：用一架天平分别称出1克—n克不同物体的重量，最少需要几个天平砝码?砝码各重多少克?
我们可以把部分砝码当作“物体”，与物品放在一边，天平平衡时，“砝码”一边的砝码重量之和减去“物体”一边的砝码重量之和就是物体的重量。
1 数学实验
我们用枚举法，使用计算机做数学实验。用一架天平“称出”1克至n克的不同物体的重量，最少砝码数k和相应个数砝码的取法m的实验结果列入下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
最少砝码数k 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
砝码取法种数m 1 2 3 1 18 22 26 19 19 9 4 3 1 761 890 880
n 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
最少砝码数k 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
砝码取法种数m 920 906 877 719 712 561 469 415 309 227 205 153 106 88 62 46
n 33 34 35 36 37 38 39 40 41 … 77 … 120 121
最少砝码数k 4 4 4 4 4 4 4 4 5 … 5 … 5 5
砝码取法种数m 36 26 17 14 9 4 3 1 30642 … 8796 … 2 1
设 ,我们归纳发现：
猜想：用一架天平分别称出1克—n克不同物体的重量，如果，则最少需要k+1个砝码。对所有的自然数n，砝码可取。当时，它是砝码的唯一取法。
2 数学模型
为了叙述的方便，设集合P= ，，记。

（1）若或，我们称为P的代数生成元组。
（2）代数生成元组的最小个数称为集合P的代数维数。具有个生成元的代数生成元组称为极小代数生成元组。
（3）是P的极小代数生成元组，对每一个都可以唯一地表示成：，（），则称为P的标准代数生成元组。
由数论中知识，我们有下面与带余除法完全类似的一个正确结论：
引理1：对任意的自然数，存在唯一的整数和，使得（）。
命题1：对任意自然数，令（[x]为不超过x的最大整数）,则是集合P= 的一个代数生成元组。
证明：，对任意的自然数，即，可以类似十进制数转换成二进制数的“除2取余法”，我们可以作一系列的“带余除法”,直到商数等于零为止：

……
其中 =-1或0或1（）。
从上面式子可得：，（），由此可推出，所以，从而有，即上述的“带余除法”最多做k+1步后商数为零。如果，我们可从上面“带余除法”等式推出：

我们已证明：对任意的自然数，（为-1或0或1）；而且容易证明其表示式是唯一的（证明略）。所以是集合P= 的一个代数生成元组。
记，，则。
命题3：集合的代数维数为k+1，是唯一的极小代数生成元组,也是唯一的标准代数生成元组。
证明：由命题1可知，有一组代数生成元，所以。
设，为的任意代数生成元组，，由于的对称性，的正项与负项的项数相等，从而，，由，得 , 从而有。
设为的极小代数生成元组，则
从而，所以，由此可以推出，即互不相同，且 ≠ 时，有。
（否则）。从而有为标准代数生成元组，且 = 。下面我们将按的系数不同分为三类：，
，则，且，
①若，则；②若，则；③若，则。（这是因为：，否则，也有，否则 )。设
，所以是最大的个元素，又因为是的最大元素，从而它们不是的元素；它们也不是中元素（否则它们每个元素加上后是的元素，而这些元素已不在中）；所以它们是中的元素；应是中元素；应是中元素，又是中元素……，由可以得出，依大小次序排列可分为段，每段个元素，且交替为、和的元素组，从而有，从而是3的幂，即 (i=1,2,…,k, k+1)。又，所以 (i=1,2,…,k, k+1)。从而证明了是的唯一的极小元代数生成元组，也是唯一的标准代数生成元组。
推论1：当对任意的自然数 ,集合P= 的算术维数。
证明：令 ,则，因为，。
综上所述，我们实际上已证明了猜想。在解题的过程中，我们建立了解决这一类问题的数学模型：设集合P= ，则（其中）是P的极小代数生成元组，也是标准代数生成元组。即P中的每一个元素均能唯一地表示成的代数和（即系数可以为-1或0或1），并可采有特殊的“除3取余法”来求表达式。当时，是P唯一的极小代数生成元组,也是唯一的标准代数生成元组。
3 解释与应用
问题1 用一架天平分别称出1克—40克不同物体的重量，最少需要几个天平砝码?砝码各重多少克?如何进行操作？
解：取，，故砝码只能取1克、3克、9克、27克（唯一的选取方法）。
如果物体重量是22克，我们可以作“带余除法”，用左边的“除法”算式表示，我们得到：

即把27克、3克和1克的砝码放在天平的一边，物品与9克砝码放在天平的另一边，若天平平衡，物体的重量为22克。

问题2：在集合P= 选取极少的几个数，使得这几个数能以加减运算组成另一些数。
解：，可以选取1、3、9、27（还可能有其它选法），用1、3、9、27以加减运算组成0—31各数，可用上述特殊的“除3取余法”。

4 问题的拓展
对于砝码的最省设置问题，如果按人们习惯，天平称物品是砝码和物品各一边，天平平衡时，砝码的重量之和就是物体的重量的，那么答案就不一样了：
要用一架天平分别称出1克—n克不同物体的重量，令（[x]为不超过x的最大整数），则至少需要k+1个砝码,砝码可取。当 = 时，它是砝码的唯一取法。
相应的数学模型：设集合P= ，则（其中）是P的极小算术生成元组，也是标准算术生成元组。即P中的每一个元素均能唯一地表示成的算术和（系数只能是0或者1），并可采用化十进制为二进制数的 “除2取余法”来求表达式。当时，是P唯一的极小算术生成元组,也是唯一的标准算术生成元组。

将有限集合P延伸为自然数集合N，则标准代数生成元组也无限延伸，从而数学模型的内容也随之得到扩展。是自然数集合N的极小代数生成元组，也是标准代数生成元组。即每一个自然数均能唯一地表示成的代数和，并可采有特殊的“除3取余法”来求表达式。

应该指出：天平砝码问题已不再只是一个简单的物理问题或数学游戏问题，它与很多数学问题有密切的联系，在生活、生产实际中也有较广泛的应用。

参考文献：
[1]杨世明，王雪芹.数学发现的艺术[M] .青岛：青岛海洋大学出版社,1998．
[2] 吕宪军.由一个重要数列谈数学模型的建立[J].小学数学教师,2002,4.
[3] 李卫国.高等数学实验课[M].北京：高等教育出版社,2000.

http://jxy.lszxedu.com/wz/9.doc

回答2：

需要1，2，4，8，16，32.这几个，我记得这是个智力测验的题，答案就是这，不过如果是这个答案，就可以称道63克了，但这也是个数最少的答案了。

回答3：

1,2,2,5,10,20
6个,这6个数可以组成1-40之间的所有数

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