求微分方程y✀✀-y✀=e^x的通解？

微分方程y''-y'=e^x的通解为y=Ce^x+De^(-x)+0.5xe^x。

解答过程如下：

y''-y=0的特征方程为a^2-1=0

解是a=1或a=-1

因此通解是y=Ce^x+De^(-x)。

y''-y=e^x的特解设为y=e^x(ax)

则y'=ae^x(x+1)，y''=ae^x(x+2)

代入方程得2ae^x=e^x

于是a=0.5，特解是y=0.5xe^x

最后得微分方程的通解是y=Ce^x+De^(-x)+0.5xe^x

扩展资料

一阶微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y'）=0

标准形式：y'=f(x,y)

主要的一阶微分方程的具体形式

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

y"-y=0的特征方程是r²-1=0。

则r=±1 齐次方程通解是y=C1e^x+C2e^(-x) (C1和C2是积分常数) ，

设原方程的一个特解是y=Axe^x。

y=C1e^x+C2e^(-x)+xe^x/2 (C1和C2是积分常数)。

一阶线性常微分方程：

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

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