证明一个函数是否有界，怎么证

证明如下：

设函数f（x）在数集A上有定义，如果存在常数M>0，使得对任意x，有|f(x)|

例如，函数 在其定义域

内有界，这是因为对任意

总有

再如，函数

在其定义域

内是无界的，这是因为对任意的实数

总存在点

显然

使得

然而，对任意实数

函数

在定义域的子集

上却是有界的，这是因为对任意

总有

于是便可取实数

使得

扩展资料

关于函数的有界性：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

如函数：

证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足|f(x)|

设函数f(x)的定义域为D，f（x）在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。

扩展资料

一、注意：

1、函数在某区间上，要么有界要么无界，二者必属其一；

2、从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

二、相关应用：

例：讨论下列函数的有界性：

 由于对一切

 都有

所以

在

上是有界函数。

证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足|f(x)|

证明无界的思路是：对任意正数M，总存在x，使得|f(x)|>M。

若存在两个A和B，对一切x∈Df恒有A≤f（x）≤B，则称函数y=f（x）在Df内是有界函数，否则为无界函数。

f（x）=1/（1+x2）

x→0 f（x）→1

x→∞ f（x）→0

0≤f（x）≤1 所以 函数y=f（x）在Df内是有界函数。

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x）， arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。

扩展资料：

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

证明如下：

设函数f（x）在数集A上有定义，如果存在常数M>0，使得对任意x，有|f(x)|

例如，函数 在其定义域

内有界，这是因为对任意

总有

再如，函数

在其定义域

内是无界的，这是因为对任意的实数

总存在点

显然

使得

然而，对任意实数

函数

在定义域的子集

上却是有界的，这是因为对任意

总有

于是便可取实数

使得

扩展资料

关于函数的有界性：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

如函数：

定义：若存在两个A和B,对一切x∈Df恒有A≤f（x）≤B,则称函数y=f（x）在Df内是有界函数,否则为无界函数.
f（x）=1/（1+x2）
x→0 f（x）→1
x→∞ f（x）→0
0≤f（x）≤1 所以 函数y=f（x）在Df内是有界函数