∫1⼀（sinx+cosx）dx，这题咋做啊？？

∫1/（sinx+cosx）dx

=∫dx/√2sin(x+π/4)

=-(√2/2)∫dcos(x+π/4)/sin^2(x+π/4)

=-(√2/4）{∫dcos(x+π/4)/[1-cos(x+π/4)]+∫dcos(x+π/4)/[1+cos(x+π/4)]}

=-(√2/4)ln{[1+cos(x+π/4)]/[1-cos(x+π/4)]}+c

=(√2/4)ln{[1-cos(x+π/4)]/[1+cos(x+π/4)]}+c

扩展资料

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

求函数f(x)的不定积分，要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

　　这个是三角函数的不定积分，分母应先进性化简，计算步骤为：
　　∫1/（sinx+cosx）dx
　　=∫dx/√2sin(x+π/4)
　　=-(√2/2)∫dcos(x+π/4)/sin^2(x+π/4)
　　=-(√2/4）{∫dcos(x+π/4)/[1-cos(x+π/4)]+∫dcos(x+π/4)/[1+cos(x+π/4)]}
　　=-(√2/4)ln{[1+cos(x+π/4)]/[1-cos(x+π/4)]}+c
　　=(√2/4)ln{[1-cos(x+π/4)]/[1+cos(x+π/4)]}+c
归纳一下，这类分母是形如asinx+bcosx的情形，可以利用三角函数的公式，化简成形如Asin(x+t)或者Bcos(x+t)的形式，再进行求解。

把分母化成（根号2）* sin(x+pi/4),然后化成csc(x+pi/4),再对照公式即可求出。
学不定积分不是有一些公式的吗？照那个∫csc x dx 的公式套就行啦，x换成(x+pi/4)，前面再乘以二分之根号二就行啦，我这种方法是最简单的了。

∫1/(sinx+cosx)dx
=∫1/[√2sin(x+π/4)]dx
=√2/2∫1/sin(x+π/4)d(x+π/4)
令t=x+π/4则
上式=√2/2∫1/sint dt
=√2/2∫1/(2sint/2 cost/2) dt
=√2/2∫1/(tant/2 cos²t/2) dt/2
=√2/2∫1/(tant/2) d(tant/2)
=√2/2ln|tant/2|+C
故：
原式=√2/2ln|tan(x/2+π/8)|+C