离婚双方的离婚证和离婚协议不见了!婚姻登记机关的离婚协议能起到法律效力吗?

可以的，可到婚姻登记机关查询本人离婚档案，复制离婚协议书。

根据《婚姻登记工作规范》规定：
第五十六条　婚姻登记员受理离婚登记申请，应当按照下列程序进行：
（一）分开询问当事人的离婚意愿，以及对离婚协议内容的意愿，并进行笔录，笔录当事人阅后签名。
（二）查验本规范第五十五条规定的证件和材料。申请办理离婚登记的当事人有一本结婚证丢失的，当事人应当书面声明遗失，婚姻登记机关可以根据另一本结婚证办理离婚登记；申请办理离婚登记的当事人两本结婚证都丢失的，当事人应当书面声明结婚证遗失并提供加盖查档专用章的结婚登记档案复印件，婚姻登记机关可根据当事人提供的上述材料办理离婚登记。
（三）双方自愿离婚且对子女抚养、财产及债务处理等事项协商一致的，双方填写《申请离婚登记声明书》；
《申请离婚登记声明书》中“声明人”一栏的签名必须由声明人在监誓人面前完成并按指纹；
婚姻登记员作监誓人并在监誓人一栏签名。
（四）夫妻双方应当在离婚协议上现场签名；婚姻登记员可以在离婚协议书上加盖“此件与存档件一致，涂改无效。XXXX婚姻登记处XX年XX月XX日”的长方形印章。协议书夫妻双方各一份，婚姻登记处存档一份。当事人因离婚协议书遗失等原因，要求婚姻登记机关复印其离婚协议书的，按照《婚姻登记档案管理办法》的规定查阅婚姻登记档案。
离婚登记完成后，当事人要求更换离婚协议书或变更离婚协议内容的，婚姻登记机关不予受理。

第十四条　婚姻登记档案应当按照下列规定进行移交：
（一）县级（含）以上地方人民政府民政部门形成的婚姻登记档案，应当在本单位档案部门保管一定时期后向同级国家档案馆移交，具体移交时间由双方商定。
（二）具有办理婚姻登记职能的乡（镇）人民政府形成的婚姻登记档案应当向乡（镇）档案部门移交，具体移交时间从乡（镇）的规定。
乡（镇）人民政府应当将每年的婚姻登记档案目录副本向上一级人民政府民政部门报送。
（三）被撤销或者合并的婚姻登记机关的婚姻登记档案应当按照前两款的规定及时移交。
第十五条　婚姻登记档案的利用应当遵守下列规定：
（一）婚姻登记档案保管部门应当建立档案利用制度，明确办理程序，维护当事人的合法权益；
（二）婚姻登记机关可以利用本机关移交的婚姻登记档案；
（三）婚姻当事人持有合法身份证件，可以查阅本人的婚姻登记档案；婚姻当事人因故不能亲自前往查阅的，可以办理授权委托书，委托他人代为办理，委托书应当经公证机关公证；
（四）人民法院、人民检察院、公安和安全部门为确认当事人的婚姻关系，持单位介绍信可以查阅婚姻登记档案；律师及其他诉讼代理人在诉讼过程中，持受理案件的法院出具的证明材料及本人有效证件可以查阅与诉讼有关的婚姻登记档案；
（五）其他单位、组织和个人要求查阅婚姻登记档案的，婚姻登记档案保管部门在确认其利用目的合理的情况下，经主管领导审核，可以利用；
（六）利用婚姻登记档案的单位、组织和个人，不得公开婚姻登记档案的内容，不得损害婚姻登记当事人的合法权益；
（七）婚姻登记档案不得外借，仅限于当场查阅；复印的婚姻登记档案需加盖婚姻登记档案保管部门的印章方为有效。

可以去办理离婚登记的登记机关查档，登记处存档的离婚协议书加盖登记处的印章（一般是此件与存档件一致，XXX婚姻登记处的条章），法律效力是一样的。

办理离婚手续时民政部门留着存档，所以去民政复印加盖公章就可以。