求x^3⼀(1+x^2)的不定积分

∫x^3/(1+x^2)dx=x²/2-1/2ln(1+x²)+c。c为积分常数。

解答过程如下：

∫x^3/(1+x^2)dx

=∫（x²+1-1）x/(1+x²)dx

=1/2∫（x²+1-1）/(1+x²)dx²

=1/2∫[1-1/(1+x²)]dx²

=x²/2-1/2ln(1+x²)+c

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

如图所示：

你好！如图拆成项，分别凑微分计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Let x = tanθ and dx = sec²θ dθ

∫ dx/(x²+1)^(3/2)

= ∫ (sec²θ)/(tan²θ+1)^(3/2) dθ

= ∫ (sec²θ)/(sec²θ)^(3/2) dθ

= ∫ (sec²θ)/(sec³θ) dθ

= ∫ cosθ dθ

= sinθ + C

= x/√(1+x²) + C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

∫(x³+1)/(x²+1)² dx
= ∫(1-x)/(x²+1)² dx + ∫x/(x²+1) dx
= J + (1/2)ln(x²+1)
令x=tany,dx=sec²y dy,siny=x/√(x²+1),cosy=1/√(x²+1)
J = ∫(1-tany)/sec⁴y * sec²y dy
= ∫(1-tany)cos²y dy
= ∫cos²y dy - ∫sinycosy dy
= (1/2)∫(1+cos2y) - (1/2)∫sin2y dy
= y/2 + 1/4*sin2y + 1/4*cos2y
= (1/2)arctanx + (1/2)*x/(x²+1) + 1/4*[2/(x²+1)-1]
= (1/2)arctanx + x/[2(x²+1)] + (1-x²)/[2(x²+1)]
原积分= (1/2)arctanx + x/[2(x²+1)] + (1-x²)/[2(x²+1)] + (1/2)ln(x²+1) + C
= (1/2)[(x+1)/(x²+1) + ln(x²+1) + arctanx] + C