不定积分x⼀(x^2+x+1)怎么求？

2024-11-14 05:14:24

推荐回答（5个）

回答1：

原积分

= ∫ (x+1/2)/(x^2+x+1) - (1/2)/[(x+1/2)^2+3/4] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/2∫ 1/[(x+1/2)^2+3/4] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 2/3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] d(2x+1)/√3)

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3arctan((2x+1)/√3) + C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

回答2：

原积分

= ∫ (x+1/2)/(x^2+x+1) - (1/2)/[(x+1/2)^2+3/4] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/2∫ 1/[(x+1/2)^2+3/4] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 2/3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] d(2x+1)/√3)

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3arctan((2x+1)/√3) + C

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

扩展资料：

设G(x)是f(x)的另一个原函数，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

参考资料来源：百度百科——不定积分

回答3：

原积分

= ∫ (x+1/2)/(x^2+x+1) - (1/2)/[(x+1/2)^2+3/4] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/2∫ 1/[(x+1/2)^2+3/4] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 2/3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] dx

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] d(2x+1)/√3)

=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3arctan((2x+1)/√3) + C

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

回答4：

∵(x²+1)(x²+x)=(x²+1)x(x+1)，∴设1/[(x²+1)(x²+x)]=a/x+b/(x+1)+(cx+d)/(x²+1)。
解得a=1，b=-1/2，c=-1/2，d=-1/2。
∴原式=ln丨x丨-(1/2)ln丨x+1丨-(1/4)ln(x²+1)-(1/2)arctanx+C。

供参考。

回答5：

答：
原积分
= ∫ (x+1/2)/(x^2+x+1) - (1/2)/[(x+1/2)^2+3/4] dx
=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/2∫ 1/[(x+1/2)^2+3/4] dx
=1/2*ln|x^2+x+1| - 2/3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] dx
=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3∫ 1/[((2x+1)/√3)^2+1] d(2x+1)/√3)
=1/2*ln|x^2+x+1| - 1/√3arctan((2x+1)/√3) + C