一个数除以5余3除以6余4除以7余1(要是最小的自然数)

这是很经典的剩余定理，也叫韩信点兵。

先用通式表示：数M被x除余a，被y除余b；被z除余c，求M的值？

题目的解题思路是：
先求其中两个除数x，y的最小公倍数，用这个最小公倍数P除以第三个除数z，如果余数和第三个余数c相等，则不需要处理，确定好这个最小公倍数；
如果余数和第三个余数c不等，那么就把得到的最小公倍数P乘以一个自然数k1变成最小公倍数的整数倍，使得得数除以第三个除数z得到的余数与c相等，确定好最小公倍数的整数倍。
这样做的目的是，最小公倍数或其整数倍保证了可以整除前面两个数x，y；并且除以第三个除数的余数余M除以第三个除数的余数相等，都是c

同理，可以得到剩余的两组最小公倍数或其整数倍。
再把这三个数相加，得到的数及其整数倍就是分别除以这三个数得到对应的余数。而如果要求的是符合题意的最小的数，则只需把得到的数减去这三个数的最小公倍数的整数倍，所得的得数就是符合题意的最小整数。因为这三个加数中的每个数都是其他两个数的倍数，并且除以第三个除数得到的余数也与第三个余数相等，所以他们的和也符合这个特点。

现在我们用这个题目的具体数字分析：
这个题目可以转变成：
数A被5除余数是3，被6除余数是4；被7除余数是1，求数A的最小值？

由于5，6，7互质
5和6的最小公倍数是30,用30除以7看余数是否与第三个余数1相等，30除以7，余数是2，要使得余数是1，只有把30乘以整数倍，30乘以4倍，得到的数除以7所得余数是2*4-7=1，

确定了第一个数是30*4=120
因为120即保证了是5和6的倍数，又保证了除以7余数是1

同理，找第二个数，5和7的最小公倍数是35, 35除以6的余数是5 ，和余数4不相等，把35变成其倍数，35乘以2倍，得到的数除以6所得的余数是5*2-6=4，

确定了第二个数是35*2=70

找第三个数，6和7的最小公倍数是42，42除以5的余数是2，与第一个余数3不相等，把42变成其倍数，42乘以4倍，得到的数除以5所得的余数是2*4-5=3，

确定了第三个数是42*4=168

把这三个数相加：120 + 70 + 168 = 358

我们来检验：对于除数5来说，120和70都是5的倍数（可表示为5k1,5k2），168除以5所得的余数是3，所以这三个数相加得到的358（5k1+5k2+168）一定也是符合除以5的余数是3
同理，可知358也符合分别除以6和7得到相应的余数。

不只是358符合题意，358减去或加上5 ，6 ，7的最小公倍数210或210的整数倍所得的数也是符合的，比如10除以3余数是1，那么10减去3的整数倍后得到的数，再除以3所得的余数也一定是1，比如（10-3*2）=4除以3余数就是1，原因很简单，自己思考。就是(10土3*n)/3=10/3土n，n是整数部分，没有余数，所以最后余数还是10/3所得到的。

所以符合题意的数有：358土210*n
358 - 210 = 148 ，358 + 210*n

题目要求A的最小整数值，则答案就是148

148
你可以这样想：
被5除余3的,分别是8、13、18、23、28……
其中把它们用6除,余数分别为2、1、0、5、4、3……
即为6个一循环,每循环一次增加30,这样,先找出最小的,满足前两条件的数28,每次加30,分别求出被7除的余数,可以得出148为最小值.

一个数除以5余3除以6余4说明这个数加2以后可以同时整除5和6，也就是30的倍数，那么这个数就是等差数列28 58 88……，这数列上除7余1的最小的是148

一个数除以5余3除以6余4除以7余1(要是最小的自然数)

到YIIYII这里

YII3

这个最小的自然数是------148