抛硬币100次，出现10次以上连续正面的概率是多少？

2024-11-11 18:23:48

推荐回答（5个）

回答1：

首先抛100次硬币所有可能情况为2^100.
本题的关键在于计算连续10次以上出现正面的情况数.
假设n个硬币出现连续10次以上正面的可能次数为An,
现在我们来计算An的递推式.
我们把"第一组连续10次以上出现正面的第一个硬币"简称为"第零硬币"
如果第零硬币排在第一位,那么可能次数为B1=2^(n-10)
如果第零硬币排在第二位,那么可能次数为B2=2^(n-11)
(这是由于第一个硬币不能是正面,
否则第零硬币排在第一位而不是
第二位)
如果第零硬币排在第三位,那么可能次数为B3=2*2^(n-12)=2^(n-11)
同理对于第零硬币排在第2-11位,可能次数都是2^(n-11)
如果第零硬币排在第12位,可能次数为B12=2^(n-11)-(A10)*2^(n-21)
(这是由于为了保证第零硬币排在第12位,不但要求
第11个硬币是反面,还要求前10个硬币中不出现
10枚连续正面的硬币)
同理
如果第零硬币排在第m位,可能次数为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)
所以有An=B1+B2+...+B(n-9)
具体的通项公式建议使用mathematica之类的数学软件,这个我不是很精通.

回多云有冰雹同学：
“比如第1到10次为正面，第21到30次也为正面的情况，就被重复计算了”
如果出现上面的情况，那么这种排列被计算在B1中而不会被计算在B21中
因为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)，
后面一项减法减去了在前面的1－20枚硬币提前出现连续十枚向上的情况。

回答2：

只有前91次出现正面才可能出现10次以上连续正面
前91次出现正面的概率为1-1/（2^91），其中1/（2^91)是全反的概率，在此基础上再连续抛9次正面的概率是1/（2^9)
所以总的概率为（1-1/（2^91））*（1/（2^9)）约为0.001953
首先抛100次硬币所有可能情况为2^100.
本题的关键在于计算连续10次以上出现正面的情况数.
假设n个硬币出现连续10次以上正面的可能次数为An,
现在我们来计算An的递推式.
我们把"第一组连续10次以上出现正面的第一个硬币"简称为"第零硬币"
如果第零硬币排在第一位,那么可能次数为B1=2^(n-10)
如果第零硬币排在第二位,那么可能次数为B2=2^(n-11)
(这是由于第一个硬币不能是正面,
否则第零硬币排在第一位而不是
第二位)
如果第零硬币排在第三位,那么可能次数为B3=2*2^(n-12)=2^(n-11)
同理对于第零硬币排在第2-11位,可能次数都是2^(n-11)
如果第零硬币排在第12位,可能次数为B12=2^(n-11)-(A10)*2^(n-21)
(这是由于为了保证第零硬币排在第12位,不但要求
第11个硬币是反面,还要求前10个硬币中不出现
10枚连续正面的硬币)
同理
如果第零硬币排在第m位,可能次数为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)
所以有An=B1+B2+...+B(n-9)
具体的通项公式建议使用mathematica之类的数学软件,这个我不是很精通.

回多云有冰雹同学：
“比如第1到10次为正面，第21到30次也为正面的情况，就被重复计算了”
如果出现上面的情况，那么这种排列被计算在B1中而不会被计算在B21中
因为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)，
后面一项减法减去了在前面的1－20枚硬币提前出现连续十枚向上的情况。

回答3：

（若只需要结论，请查看此回答末尾的“综上所述”，以下为推导过程）

总共有2^100种情况，现需求出：包含连续10次正面朝上的情况的次数

下面讨论：包含连续10次正面朝上的情况(用+表示正；-表示反；o表示任意情况；x表示任意情况中除去某些情况)

1. ++++++++++ooo…… 共2^90种情况

2. -++++++++++ooo…… 共2^0*2^89=2^89种情况

3. o-++++++++++ooo…… 共2^1*2^88=2^89种情况

4. oo-++++++++++ooo…… 共2^2*2^87=2^89种情况

……以此类推，2~11都有2^89种情况

但从12次开始，情况变为

xxxxxxxxxx-++++++++++ooo……

其中xxxxxxxxxx需除去++++++++++这一种情况

所以共 (2^10-1)*2^79 种情况

13. xxxxxxxxxxx-++++++++++ooo……

需除去++++++++++-和+++++++++++和-++++++++++这3种情况

共 (2^11-3)*2^78 种情况

……

不难发现，这样继续讨论下去会十分冗长，且不能得到普遍规律

因此我们需要讨论 x…… 需除去哪些情况

我们发现，x……中需除去的情况为：包含连续10次+的情况。

因此记 (抛n次，出现m次连续正面的情况) 的次数为a_m_n，方便接下来的讨论。

易得：

当0≤n≤m-1时，a_m_n=0

当n=m时，a_m_n=1

接下来求当m+1≤n时，a_m_n的值

以m=2为例，a_2_0=a_2_1=0，a_2_2=1

a_2_3:++o,-++

=2^(3-2)+2^(3-2-1)*(2^0-a_2_0)

a_2_4:++oo,-++o,o-++

=2^(4-2)+2^(4-2-1)*(2^0-a_2_0)+2^(4-2-2)*(2^1-a_2_1)

a_2_5:++ooo,-++oo,o-++o,xx-++

=2^(5-2)+2^(5-2-1)*(2^0-a_2_0)+2^(5-2-2)*(2^1-a_2_1)+2^(5-2-3)*(2^2-a_2_2)

……

由此我们找到了当m=2，m+1≤n时的规律：

a_m_n=2*a_m_(n-1)+2^(n-m-1)-a_m_(n-m-1)

显然，对于∀m∈N+，该式均成立

但我们要求的是概率，我们能不能求出概率的递推公式呢？

记 (抛n次，出现m次连续正面的情况) 的概率为b_m_n

则b_m_n=a_m_n/2^n ， a_m_n=b_m_n*2^n

所以

当0≤n≤m-1时，b_m_n=0

当n=m时，b_m_n=1/2^n

当m+1≤n时，

b_m_n

=a_m_n/2^n

=[2*a_m_(n-1)+2^(n-m-1)-a_m_(n-m-1)]/2^n

=[2*b_m_(n-1)*2^(n-1)+2^(n-m-1)-b_m_(n-m-1)*2^(n-m-1)]/2^n

=b_m_(n-1)+[1-b_m_(n-m-1)]/2^(m+1)

综上所述，记 (抛n次，出现m次连续正面的情况) 的次数为a_m_n，概率为b_m_n

有

当0≤n≤m-1时， a_m_n=0

b_m_n=0

当n=m时， a_m_n=1

b_m_n=1/2^n

当m+1≤n时， a_m_n=2*a_m_(n-1)+2^(n-m-1)-a_m_(n-m-1)

b_m_n=b_m_(n-1)+[1-b_m_(n-m-1)]/2^(m+1)

根据上述算式即可计算b_10_100的值（我用计算机算出来的结果≈0.04413722864042169）

希望我的回答对你们有帮助

若有纰漏，望指正

回答4：

如果是第一次正，例如
正正正正反反反正反反正正反反反反……

定义有序实数对
(a1,a2,……,ak)

a1＝4
a2=3
a3=1
a4=2
a5=2
a6=4
……

满足
a1＋a2+a3+……+ak=100
1<=a(2i)
1<=a(2i-1)<=9

你要从k＝2一直考虑到k=100

如果是第一次反，例如
反反反反反反正反反正正反反反反正正 ……

定义有序实数对
(b1,b2,……,bm)

b1＝6
b2=1
b3=2
b4=2
b5=4
b6=2
……

满足
b1＋b2+b3+……+bm=100
1<=b(2i)<=9
1<=b(2i-1)

你要从m＝1一直考虑到m=100

下面要求有序实数对
(a1,a2,……，ak)和(b1.b2,……,bm)的个数
两个个数相加，就是不出现>＝10次连续正面的情况的数量！
2^100-（不出现>＝10次连续正面的情况的数量）=所求！

这已经转化为组合计数问题啦！期待高人！！（我还在努力奋斗中……）

回答5：

设A={掷10次硬币不全部出现正面}
P(A)=1-1/2(10次方)=1-1/1024=1023/1024
则在100次中可能连续出现10次正面的次数为(100-10+1)=91,则
设B={掷100次硬币不连续10次出现正面}，
B的补集为={掷100次硬币，连续10次出现正面}。
P（B）=(P(A))(91次方),则P(B)=(1023/1024)（91次方）=0.915(这个用计算器算)
B的补集，即本题答案应为:1-0.915=0.085
同学可以参考http://tieba.baidu.com/f?kz=157279992